Первообразная и неопределённый интеграл Основные свойства неопределённого интеграла Таблица интегралов Методы интегрирования: непосредственное интегрирование; метод замены переменной; интегрирование по частям
Функция называется первообразной для функции в промежутке если в любой точке этого промежутка её производная равна : Отыскание первообразной функции по заданной её производной или по дифференциалу есть действие, обратное дифференцированию, - интегрирование. Совокупность первообразных для функции или для дифференциала называется неопределённым интегралом и обозначается символом. Таким образом, Здесь, - подынтегральная функция, - подынтегральное выражение, С – произвольная постоянная.
Неопределённый интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная: Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции: Неопределённый интеграл алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов этих функций: Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак неопределённого интеграла: Если и - любая известная функция, имеющая непрерывную производную, то
Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании таблицы интегралов. Здесь могут представиться следующие случаи: данный интеграл находится непосредственно по соответствующему табличному интегралу; данный интеграл после применения свойств 3) и 4) приводится к одному или нескольким табличным интегралам; данный интеграл после элементарны тождественных преобразований над подынтегральной функцией и применения свойств 3) и 4) приводится к одному или нескольким табличным интегралам.
Найдите следующие интегралы: Решение: На основании свойства 4) постоянный множитель 5 можно вынести за знак интеграла и, используя формулу 1, получим: Решение: Используя свойство 4) и формулу 2, получим: Решение: Используя свойства 3) и 4) и формулы 2 и 1, имеем: Постоянная интегрирования С равна алгебраической сумме трёх постоянных интегрирования, так как каждый интеграл имеет свою произвольную постоянную
Найдите следующие интегралы: Решение: Решение: Задачи для самостоятельной работы:
Сущность интегрирования методом замены переменной (способом подстановки) заключается в преобразовании интеграла в интеграл, который легко вычисляется по какой-либо из основных формул интегрирования. Для нахождения интеграла заменяем переменную x новой переменной u с помощью подстановки. Дифференцируя это равенство, получим. Подставляя в подынтегральное выражение вместо x и dx их значения, выраженные через u и du, имеем После того как интеграл относительно новой переменной u будет найден, с помощью подстановки он приводится к переменной x.
Найдите следующие интегралы: Решение: Введём подстановку. Дифференцируя, имеем, откуда. Подставив в данный интеграл вместо и их выражения, получим: Заменив u его выражением через x, находим:
Найдите следующие интегралы: Решение: Введём подстановку. Дифференцируя, имеем, откуда. Таким образом, Решение: Введём подстановку. Дифференцируя, имеем, откуда. Таким образом,
Найдите следующие интегралы: Решение: Введём подстановку. Дифференцируя, имеем, откуда. Таким образом, Задачи для самостоятельной работы:
Интегрируя обе части равенства, получим откуда (14) С помощью этой формулы вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла, если последний окажется проще исходного.
Найдите следующие интегралы: Решение: Пусть тогда т.е. Используя формулу (14), получим: Решение: Пусть тогда Используя формулу (14), получим:
Найдите следующий интеграл: Решение: Пусть тогда По формуле (14) получим: В числителе подынтегральной функции последнего интеграла прибавим и вычтем и представим этот интеграл в виде суммы двух интегралов: Последний интеграл находим по формуле (11):
Перенеся из правой части в левую, получим: или окончательно Задачи для самостоятельной работы:
