![Геометрический смысл определенного интеграла Пусть y = f ( x ) 0 на [ a, b ] ( a < b ).](https://s0.showslide.ru/s_slide/e20ebd5e1fc297496647d2c400c86fdb/39d88a86-f553-455d-9d2f-2bf41e9db300.jpeg.webp "Определенный интеграл")
![Суммы Дарбу Пусть f ( x ) ограничена на отрезке [ a, b ] и некоторое разбиение этого отрезка точками a=x 0 < x 1 < …< x n = b. Пусть m i и M i - соответственно](https://s0.showslide.ru/s_slide/27a0d7757db9b0fb2f0566b818579961/660db4bd-8a0e-46aa-a7ce-df38ace56772.jpeg.webp "Определенный интеграл")
![Формулы оценки определенных интегралов Доказательство : Для любого разбиения отрезка [ a, b ] и при любом выборе точек i интегральная сумма при b>a. Переходя](https://s0.showslide.ru/s_slide/c38001adc2758bf278535d271fd43ec4/1f997795-d6ce-4cdf-a857-2983fca83126.jpeg.webp "Определенный интеграл")
![Доказательство. По условию m f ( x ) M для x [ a, b ]. П рименяя оценку 2) и свойство 5) к неравенствам получим оценку интеграла.](https://s0.showslide.ru/s_slide/d03a6f61479cd237843b48e237e6f48c/af461576-f8c9-4292-b14f-a3691e9240cb.jpeg.webp "Определенный интеграл")
![В силу 2-й теоремы Больцано-Коши о промежуточном значении такая точка с [ a, b ], что f ( с ) = , Это равенство называется формулой среднего значения, а](https://s0.showslide.ru/s_slide/3c02fe9a84e0f7f54389ef2e163a6b28/fc0edd93-05a5-4d5e-9b10-2cf7be4189c4.jpeg.webp "Определенный интеграл")
![Доказательство. Возьмем x [ a, b ] и значение x+ x [ a, b ], x 0. Тогда Используем теорему о среднем](https://s0.showslide.ru/s_slide/0242cdf3e6e6c6e6825751237c8d2d9d/5e5667e3-57c7-441b-84b3-02e40c25a515.jpeg.webp "Определенный интеграл")
![где с [ x, x+ x ]. При x 0 точка с х f ( с ) f ( x ). или F` ( x ) = f ( x ). Ч.т.д.](https://s0.showslide.ru/s_slide/88ea0ba0f77f85a1a07dbe743f6912d1/2872d0ae-9c60-46b0-8870-93a7fa9fe3f3.jpeg.webp "Определенный интеграл")
![Доказательство. Пусть F ( x ) - первообразная f ( x ) на [ a, b ]. Рассмотрим сложную функцию Ф ( t ) = F [ ( t )]. По правилу дифференцирования сложной](https://s0.showslide.ru/s_slide/9cb6140b0da247beddd01d946c5b03a1/4a51f193-6243-4edf-88fc-abbb2027013e.jpeg.webp "Определенный интеграл")
Лекция № 13
2 Понятие интегральной суммы Пусть функция f ( x ) задана на отрезке [ a, b ]. Разобьем отрезок [ a, b ] на n произвольных частей точками a = x 0 < x 1 < x 2 < … < x i < x i +1 < … < x n = b. x i = x i – x i –1 Точки x i – называются точками разбиения. Выберем на каждом из частичных отрезков [ x i –1, x i ] произвольную точку i x i –1 i x i, 0 i n. Составим интегральную сумму
3
4 Геометрический смысл интегральной суммы i = f ( i ) x i – площадь под прямой y = f ( x i ) на отрезке [ x i – 1, x i ]. Вся интегральная сумма = 1 + 2 + … n – площадь под ломаной, образованной на каждом из отрезков [ x i – 1, x i ] прямой y = f ( i ), || оси Ох.
5 Понятие определенного интеграла Определение. Пусть предел интегральной суммы при max х i 0 существует, конечен и не зависит от способа выбора точек х 1, х 2, … и точек 1, 2, … Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции y = f ( x ) на [ a, b ], обозначается Обозначим max x i максимальную из длин отрезков [ x i –1, x i ]. Сама функция y = f ( x ) называется интегрируемой на отрезке [ a, b ], т.е.
6 Число a называется нижним пределом, b – верхним пределом, f ( x ) – подынтегральной функцией, f ( x ) dx - подынтегральным выражением. Задача о нахождении называется интегрированием функции f ( x ) на отрезке [ a, b ]. Не имеет значения, какой буквой обозначена переменная интегрирования :
7 Геометрический смысл определенного интеграла Пусть y = f ( x ) 0 на [ a, b ] ( a < b ).
![Геометрический смысл определенного интеграла Пусть y = f ( x ) 0 на [ a, b ] ( a < b ).](https://s0.showslide.ru/s_slide/e20ebd5e1fc297496647d2c400c86fdb/39d88a86-f553-455d-9d2f-2bf41e9db300.jpeg "Определенный интеграл")
8 Экономический смысл интеграла Пусть функция z = f ( t ) описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени t.
9 Суммы Дарбу Пусть f ( x ) ограничена на отрезке [ a, b ] и некоторое разбиение этого отрезка точками a=x 0 < x 1 < …< x n = b. Пусть m i и M i - соответственно точная нижняя и верхняя грани f ( x ) на частичном отрезке [ x i -1, x i ]. Тогда суммы
![Суммы Дарбу Пусть f ( x ) ограничена на отрезке [ a, b ] и некоторое разбиение этого отрезка точками a=x 0 < x 1 < …< x n = b. Пусть m i и M i - соответственно](https://s0.showslide.ru/s_slide/27a0d7757db9b0fb2f0566b818579961/660db4bd-8a0e-46aa-a7ce-df38ace56772.jpeg "Определенный интеграл")
10
11 Очевидно s S. Необходимое и достаточное условие интегрируемости (Доказательство самостоятельно).
12 Классы интегрируемых функций (Доказательство самостоятельно).
13 Основные свойства определенного интеграла 1. По определению полагаем и Доказательство. Равенство верно, т.к. при движении от b к a все длины частичных отрезков x i < 0 в интегральной сумме. Ч.т.д.
14 2. Для любых чисел a, b и c имеет место равенство Доказательство. Положим a < c < b. Пусть с – одна из точек разбиения с = x m. Тогда интегральную сумму можно разбить на две суммы Переходя к пределу при max x i 0, получим равенство. Случай a < b < c доказывается аналогично.
15 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла 4. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их определенных интегралов
16 Свойства 3 и 4 доказываются едино-образно исходя из интегральных сумм. Доказательство. По определению
17 Формулы оценки определенных интегралов Доказательство : Для любого разбиения отрезка [ a, b ] и при любом выборе точек i интегральная сумма при b>a. Переходя к пределу при max x i 0 получим свойство 1. Ч.т.д.
![Формулы оценки определенных интегралов Доказательство : Для любого разбиения отрезка [ a, b ] и при любом выборе точек i интегральная сумма при b>a. Переходя](https://s0.showslide.ru/s_slide/c38001adc2758bf278535d271fd43ec4/1f997795-d6ce-4cdf-a857-2983fca83126.jpeg "Определенный интеграл")
18 Доказательство. Это свойство следует из оценки 1) и свойства определенного интеграла 4) применительно к функции g ( x ) – f ( x ) 0.
19 Доказательство. 1. Покажем интегрируемость | f ( x )|.
20 Предел правой части существует, следовательно сущетсвует предел и левой части. 2.
21 Доказательство. По условию m f ( x ) M для x [ a, b ]. П рименяя оценку 2) и свойство 5) к неравенствам получим оценку интеграла.
![Доказательство. По условию m f ( x ) M для x [ a, b ]. П рименяя оценку 2) и свойство 5) к неравенствам получим оценку интеграла.](https://s0.showslide.ru/s_slide/d03a6f61479cd237843b48e237e6f48c/af461576-f8c9-4292-b14f-a3691e9240cb.jpeg "Определенный интеграл")
22 Формулы среднего значения
23 Доказательство. Для функции f ( x ) выполняется оценка 4). Поделив обе части неравенства на b – a, имеем Обозначая утверждение теоремы.
24 В силу 2-й теоремы Больцано-Коши о промежуточном значении такая точка с [ a, b ], что f ( с ) = , Это равенство называется формулой среднего значения, а величина f ( с ) – средним значением функции f ( x ) на отрезке [ a, b ].
![В силу 2-й теоремы Больцано-Коши о промежуточном значении такая точка с [ a, b ], что f ( с ) = , Это равенство называется формулой среднего значения, а](https://s0.showslide.ru/s_slide/3c02fe9a84e0f7f54389ef2e163a6b28/fc0edd93-05a5-4d5e-9b10-2cf7be4189c4.jpeg "Определенный интеграл")
25 Геометрический смысл формулы среднего значения
26 На основании оценки 1) и 2), а также свойства 3) можно доказать обобщенную теорему о среднем :
27 Определенный интеграл с переменным верхним пределом которую назовем интегралом с переменным верхним пределом. Если f ( x ) интегрируема на [ a, b ], то она интегрируема и на [ a, x ], где x [ a, b ]. Рассмотрим функцию Теорема. Непрерывная на отрезке [ a, b ] функция f ( x ) имеет на этом отрезке первообразную. Одной из первообразных является функция
28 Доказательство. Возьмем x [ a, b ] и значение x+ x [ a, b ], x 0. Тогда Используем теорему о среднем
![Доказательство. Возьмем x [ a, b ] и значение x+ x [ a, b ], x 0. Тогда Используем теорему о среднем](https://s0.showslide.ru/s_slide/0242cdf3e6e6c6e6825751237c8d2d9d/5e5667e3-57c7-441b-84b3-02e40c25a515.jpeg "Определенный интеграл")
29 где с [ x, x+ x ]. При x 0 точка с х f ( с ) f ( x ). или F` ( x ) = f ( x ). Ч.т.д.
![где с [ x, x+ x ]. При x 0 точка с х f ( с ) f ( x ). или F` ( x ) = f ( x ). Ч.т.д.](https://s0.showslide.ru/s_slide/88ea0ba0f77f85a1a07dbe743f6912d1/2872d0ae-9c60-46b0-8870-93a7fa9fe3f3.jpeg "Определенный интеграл")
30 Формула Ньютона-Лейбница Доказательство. Учтем
31 ( С – с onst). Подставляя х = а и учитывая свойство 1) : Тогда при х= b получим Ч.т.д.
32 Равенство называется основной формулой интегрального исчисления или формулой Ньютона-Лейбница.
33 Разность F ( b ) – F ( a ) условно записывают символом, т.е.
34 Примеры.
35 Определенный интеграл
36 Теорема. Пусть Тогда справедлива формула
37 Доказательство. Пусть F ( x ) - первообразная f ( x ) на [ a, b ]. Рассмотрим сложную функцию Ф ( t ) = F [ ( t )]. По правилу дифференцирования сложной функции Ф `( t ) = F ` [ ( t )] `( t ) = f [ ( t )] `( t ). По формуле Ньютона-Лейбница Ч.т.д.
![Доказательство. Пусть F ( x ) - первообразная f ( x ) на [ a, b ]. Рассмотрим сложную функцию Ф ( t ) = F [ ( t )]. По правилу дифференцирования сложной](https://s0.showslide.ru/s_slide/9cb6140b0da247beddd01d946c5b03a1/4a51f193-6243-4edf-88fc-abbb2027013e.jpeg "Определенный интеграл")
38 Доказанная формула называется формулой замены переменной или подстановки в определенном интеграле. Замечание. При вычислении определенного интеграла с помощью замены переменной не обязательно возвращаться к прежней переменной. При подстановке следует сначала найти новые пределы интегрирования и выполнить необходимые преобразования подынтегральной функции.
39 Примеры. Применим подстановку x = a sin t. dx=a cos t dt. Заменим пределы интегрирования Найдем новые пределы:
40 Интегрирование по частям в определенном интеграле
41 Доказательство. Учтем справедливость доказываемой формулы.
42 Примеры.
