Высказывание – это утверждение или повествовательное предложение, которое может быть либо истинным, либо ложным. Значением истинного высказывания является «И» – истина, ложного «Л» – «ложь».
Повелительные («Войдите, пожалуйста»), вопросительные («Который час?») и бессмысленные предложения («Сумма пяти и восемнадцати»), в которых ничего не утверждается, не являются высказываниями.
Не будет высказыванием утверждение, истинность или ложность которого нельзя определить однозначно. Например: «Музыка Вагнера очень мелодична», «Картины Пикассо слишком абстрактны».
Предметом логики высказываний является анализ различных логических связей и методы построения на их основе правильных логических рассуждений. Способы построения новых высказываний из заданных с помощью логических связок и определение истинности высказываний, изучаются в логике высказываний.
Основные логические связки это связки: и, или, не, если … то …, которые в логике высказываний имеют специальные названия и обозначения. Иногда к ним добавляют еще две связки либо …, либо …(или …, или …); если, и только если (тогда и только тогда). Для одной и той же связки в разных источниках используются разные названия и обозначения, которые приведены в таблице 1.
Связка Название Обозначение Высказывание, полученное с помощью связки Математическая запись и конъюнкция (или логическое умножение) А и В А В А В А В, АВ или дизъюнкция А или В А В А + В не отрицание, инверсия не А А, если …, то … импликация если А, то В (А влечет В) либо …, либо … исключающее « или », неравнозначность , либо А, либо В А В А В если и только если эквивалентность, равнозначность ~, А, если и только если В А В А ~ В
В последней колонке табл. 1 записаны формулы, или выражения логики высказываний. С помощью букв А, В, С,... обозначающих высказывания, связок и скобок можно построить разнообразные формулы.
A – светит солнце, В – идет дождь, АВ – светит солнце и идет дождь. С – контакт замкнут, D – лампа горит, С D – если контакт замкнут, то лампа горит. Истинными или ложными будут составные высказывания, зависит от истинности простых высказываний, входящих в формулу.
A – Марс – спутник Земли, В – Лондон – столица Англии, АВ – Марс – спутник Земли и Лондон – столица Англии, ложное высказывание; А В – Марс – спутник Земли или Лондон – столица Англии, истинное; АВ – если Марс – спутник Земли, то Лондон – столица Англии, истинное.
Исследование свойств таких формул и способов установления их истинности и является основным предметом логики высказываний. Существуют два подхода к построению логики высказываний, которые образуют два варианта этой логики: алгебру логики и исчисление высказываний.
Алгебра высказываний рассматривает логические формулы как алгебраические выражения, связывающие высказывания, которые можно преобразовать по определенным правилам. Знаки операций обозначают логические операции (логические связки).
В формулах алгебры логики переменные – это высказывания. Они принимают только два значения – ложь и истина, которые обозначаются либо 0 и 1, либо Л и И, либо false и true. Каждая формула задает логическую функцию : функцию от логических переменных, которая сама может принимать только два логических значения.
Таблица логических функций 1 переменной Константа 0: Тождество: Отрицание: Константа 1: 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1
Дизъюнкция Конъюнкция Импликация Эквивалентность (равнозначность) Неравнозначность (сложение по модулю 2) Штрих Шеффера (НЕ – И) Стрелка Пирса (НЕ – ИЛИ) 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0
Интерпретацией формулы логики высказываний называется набор значений высказываний, входящих в нее.
Формула F называется тождественно истинной или тавтологией, если она принимает значение «истина» независимо от значений входящих в нее высказывательных переменных, (на всех интерпертациях).
Формула F называется тождественно ложной или противоречивой, если она принимает значение «ложь» независимо от значений входящих в нее высказывательных переменных, (на всех интерпертациях).
Формула F называется выполнимой, если при некоторых интерпретациях она принимает значение «истина». Такая интерпретация называется моделью формулы F.
Пусть интерпретация определена на всех высказывательных переменных, встречающихся в формулах множества . Говорят, что выполняет или модель , если каждая формула из принимает значение «истина», при интерпретации .
Говорят, что выполнимо, если имеет модель. Если не выполнимо, то пишут: =.
Пусть – множество формул логики высказываний, F – произвольная формула. Говорят, что множество логически влечет формулу F, если любая модель являются моделью для F. Обозначается: = F.
Утверждение того, что некоторое высказывание (заключение) следует из других высказываний (посылок), называется аргументом.
... гипотезы заключение
Аргумент называется правильным, если из множества гипотез логически следует заключение аргумента.
Проверить истинность, выполнимость или ложность формулы. F=(A B) A. Построим таблицу истинности и убедимся, в наличии моделей формулы F.
Напомним, интерпретация м одель F, если значение функции на интерпретации равен Истине.
Моделью F является интерпретация (набор значений аргументов) = (0, 1).
Так как у F есть модель, значит она не является тождественно ложной (противоречивой). Так как не все интерпретации F являются ее моделями, значит она не является тождественно истинной (тавтологией). F является выполнимой.
Проверить истинность, выполнимость или ложность формулы. F=(A B) ( A │B ). Построим таблицу истинности и убедимся, в наличии моделей формулы F.
Все интерпретации F является ее моделями. А В А В А│В F 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1
Так как все интерпретации F являются ее моделями, значит она является тождественно истинной (тавтологией).
Проверить, выполнимо ли множество Г. Г = {AB, AB} Надо проверить, найдется ли такая интерпретация , которая является моделью разу для всех формул множества Г. Построим таблицу для всех функций из Г.
= (0,0) является моделью всех формул Г. Значит Г - выполнимо А В А В АВ 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0
Проверить, выполнимо ли множество Г. Г = {AB, AB, АВ } Надо проверить, найдется ли такая интерпретация , которая является моделью разу для всех формул множества Г. Построим таблицу для всех функций из Г.
Г не имеет моделей. Значит Г не выполнимо: Г А В A B AB АВ 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1
Проверить, будет ли из множества формул Г логически следовать функция F. Г = {AB, АВ }, F= AB Надо проверить, будет ли всяка модель множества Г моделью формулы F. Построим таблицу для функций Г и F.
Модель Г (=01) является моделью F. Значит из Г логически следует F. Г F. А В AB АВ A B 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1
Проверить правильность аргумента. Если Джон коммунист, то Джон атеист. Джон атеист. Значит Джон коммунист. А- Джон коммунист; В- Джон атеист. Составим аргумент.
А В В_ А Здесь Г= { А В, В } – множество посылок, F=A – заключение.
Чтобы проверить проверить правильность аргумента, необходимо убедится в том, что из множества посылок логически следует заключение: Г F. В нашем случае: { А В, В } А
= 1 1 является моделью Г и F. = 0 1 является моделью Г и не является моделью F. А В AB В A 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1
Таким образом, из множества посылок Г не следует логически заключение F. Это означает, что аргумент неверный.
