Вычисление двойного интеграла Рыбникова Екатерина Группа Э(БУ)-14-1
2 Пусть требуется вычислить двойной интеграл , где функция непрерывна в области. Тогда двойной интеграл выражает объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью. Найдем этот объем, используя метод параллельных сечений. Ранее было показано, что где – площадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси Ox, а – уравнение плоскостей, ограничивающих данное тело.
3 Положим сначала, что область D представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную прямыми и кривыми, причем функции непрерывны и таковы, что для всех. Такая область называется правильной в направлении оси Оу : любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает границу области не более чем вы двух точках.
4 Построим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох :, где. В сечении получим криволинейную трапецию ABCD, ограниченную линиями, где,
5 Площадь этой трапеции находим с помощью определенного интеграла Теперь, согласно методу параллельных сечений, искомый объем цилиндрического тела может быть найден так:
6 С другой стороны,
7 Это равенство обычно записывается в виде Формула (1) представляет собой способ вычисления двойного интеграла в декартовых координатах. Правую часть формулы (3) называют двукратным (или повторным ) интегралом от функции по области D. При этом называется внутренним интегралом. (3)
8 Здесь, при вычислении внутреннего интеграла, считаем y постоянным. Для вычисление двукратного интеграла сначала берем внутренний интеграл, считая постоянным, затем берем внешний интеграл, т.е результат первого интегрирования интегрируем по х в пределах от а до b. Если же область D ограничена прямыми, кривыми, причем для всех , т.е область D – правильная в направлении оси Ох, то, рассекая тело плоскостью, аналогично получим: ( 4 )
9 Формулы (3) и (4) справедливы и в том случае, когда. Если область правильна в обоих направлениях, то двойной интеграл можно вычислять как по формуле (3), так и по формуле (4). Если область не является правильной ни « по х », ни « по у », то для сведения двойного интеграла к повторным ее следует разбить на части, правильные в направлении оси Ох или оси Оу. Полезно помнить, что внешние пределы в двухкратном интеграле всегда постоянны, а внутренние, как правило, переменные.
1) Если 2) Границы интегрирования по x не зависят от у 3) Границы интегрирования по y не зависят от x (5) Выражение (5) называется повторным интегралом.
11 Вычислить, где область ограничена линиями
12 Решение: На рисунке (слайд 10) изображена область интегрирования. Она правильная в направлении оси Ox. Для вычисления данного двойного интеграла воспользуемся формулой (4):
13
14 Отметим, что для вычисления данного двойного интеграла можно воспользоваться формулой (3). Но для этого область следует разбить на две области:. Получаем:
15 Ответ один и тот же.
