Существуют процессы, где одной функции недостаточно для описания процесса. Далее - независимая переменная; (или если функций не больше трех) - неизвестные функции. Определение. Системой дифференциальных уравнений называют совокупность уравнений, в каждое из которых входят независимые переменные, искомые функции и их производные.
1) 2) Решением системы дифференциальных уравнений называют совокупность функций которая при подстановке в уравнения превращает их в тождества. Определение. Нормальной системой дифференциальных уравнений называется система уравнений вида
Пример. Некоторые системы дифференциальных уравнений нельзя привести к нормальной системе. Их рассматривать не будем. Пример.
Пример. Введем дополнительные функции Тогда Одно дифференциальное уравнение - го порядка может быть сведено к нормальной системе дифференциальных уравнений. Пример.
Пример
Пример Первое уравнение не зависит от остальных.
Общее решение нормальной системы дифференциальных уравнений имеет вид где - произвольные постоянные. могут входить не во все уравнения. Задание начальных условий дает частное решение системы дифференциальных уравнений
Если правые части нормальной системы дифференциальных уравнений непрерывны вместе со своими частными производными в окрестности значений то в достаточно малом интервале существует единственная система функций являющаяся решением системы и удовлетворяющая начальным условиям.
Однородная система линейных дифференциальных уравнений где - непрерывные функции. 1) Если известно частное решение системы линейных дифференциальных уравнений то тоже является решением системы, где - произвольная постоянная.
3) Если известны частных решений системы …; то (*) тоже является решением системы линейных дифференциальных уравнений. Совокупность решений образует фундаментальную систему решений. Решение (*) является общим решением однородной системы линейных дифференциальных уравнений.
есть сумма общего решения однородной системы и частного решения неоднородной системы.
При заданных начальных условиях можно получить частное решение системы линейных дифференциальных уравнений. Для этого необходимо подставить начальные условия в общее решение системы (*). Получим алгебраическую систему уравнений Решая систему, получим частное решение системы линейных дифференциальных уравнений. Для того, чтобы система алгебраических уравнений имела единственное решение, необходимо, чтобы определитель
Рассмотрим однородную систему линейных дифференциальных уравнений Систему можно свести к одному дифференциальному уравнению - го порядка. Будем искать частные решения в виде где - неопределенные постоянные.
Отсюда Чтобы система однородных уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, определитель системы равнялся нулю Раскрыв определитель, получим характеристическое уравнение.
Определитель системы равен нулю. Примем, что если - простой корень, то, по крайней мере, один из миноров 2-го порядка не равен нулю. Тогда одно из уравнений следует из остальных. Решение системы зависит от одной произвольной постоянной. Пусть первые два уравнения линейно независимы. Тогда одно из решений будет Все остальные решения получаются умножением чисел на одну и ту же произвольную постоянную.
Общее решение системы линейных дифференциальных уравнений имеет вид
