1
В.Л. Клюшин «Высшая математика для экономистов» (учебное пособие) В.Л. Клюшин «Высшая математика для экономистов: задачи, тесты, упражнения» 2
Определение. Числовая таблица с m строками и n столбцами называется mxn матрицей. 3x4 - матрица - элемент матрицы, стоящий на пересечении i- ой строки и j- го столбца 3
4
5
Вид продукции Районы продажи 1 2 I 98 24 II 39 15 III 22 15 Ежегодные продажи (млн. руб.) 6
7
… производится поэлементно 8
. 9
. 10
Вид продукции 1 2 3 4 5 Объём (штук) 4 2 6 2 7 Цена единицы ( $ ) 8 4 2 3 6 Цена партии 11
Пример. Умножить каждую строку матрицы A на каждый столбец матрицы B, где 12
При умножении матрицы на матрицу, каждая строка матрицы умножается на каждый столбец матрицы. При этом результат умножения - ой строки матрицы на - ый столбец матрицы, записывается на пересечение - ой строки и - го столбца матрицы. 13
. Р езультат умножения матриц содержит столько же строк как первый сомножитель и столько же столбцов как второй сомножитель 14
15
При транспонировании меняются местами строки и столбцы исходной матрицы. ( Первая строка становится первым столбцом, вторая строка становится вторым столбцом и т.д.) Матрица, транспонированная к A обозначается A ’ или A t. Пример. 16
17
Строка Столбец Квадратная Диагональная Нулевая Верхнетреугольная Нижнетреугольная 18
Определить типы следующих матриц ( выбрать из строка, столбец, квадратная, диагональная, нулевая, верхнетреугольная, нижнетреугольная ). 19
Определитель матрицы – это число, обозначаемое и вычисляемое по конкретным правилам. Матрица 1-го порядка – таблица, состоящая из од - ного числа и её определитель равен этому числу. 20
21
| А | это с точностью до знака площадь заштрихованного параллелограмма (a 12,a 22 ) ( a 11,a 21 ) x y 0 22
Для решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными и можно умножить первое уравнение на коэффициент при во втором уравнении и умножить второе уравнение на коэффициент при в первом уравнении. Затем вычесть из первого уравнения второе: 23
. 24
25
26
Пусть дана система уравнений Если, где обозначает матрицу ко э ффициентов при неизвестных, то и, где матрицы и получаются из матрицы заменой первого и второго столбца на столбец свободных членов соответственно Теорема Крамера . 27
Решить систему по правилу Крамера. 28
Минором определителя матрицы называется такой новый определитель, который получается из данного вычеркиванием -ой строки и -го столбца. 29
30
Для матрицы 31
32
. Пример Найти миноры и для м атриц ы 33
Алгебраическим дополнением элемента определителя матрицы называется минор этого элемента, взятый со знаком Пример: 34
Для матрицы 35
Теорема Лапласа. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраическ ие дополнени я. 36
Пример. Найти определитель матрицы при помощи разложения по элементам третьего столбца. 37
Определитель не меняется при транспонировании : Пример : 38
Определитель меняет знак при перестановки любых двух строк или любых двух столбцов. Пример : 39
3. Общий множитель элементов какой-либо строки или столбца можно вынести за знак определителя. Пример : 40
4. Определитель матрицы, содержащий строку или столбец, целиком состоящий из нулей, равен нулю. Пример : 41
5. Определитель матрицы, содержащий равные или пропорциональные строку и столбец, равен нулю. Пример : 42
6. Если каждый элемент некоторой строки матрицы представим в виде суммы двух слагаемых, то определитель есть сумма определителей, где все строки матриц и, кроме указанной строки, совпадают с соответствующими строками матрицы, а все элементы указанной строки матриц и являются, соответственно, первыми и вторыми слагаемыми указанной строки матрицы. 43
Пример. 44
Определитель не изменится, если к элементам некоторой строки ( столбца ) прибавить соответствующие элементы другой строки ( столбца ), предварительно умножив их на один и тот же множитель. 45
46
Определитель верхнетреугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. Пример : 47
( Теорема Лапласа.) Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраическ и е дополнени я. Пример : 48
Если является единственным ненуле-вым элементом в своей строке или столбце, то Пример : 49
Определитель произведения матриц равен произведению определителей : 50
Число 1 обладает свойством : Д ля любого числа. Например, Для любого ненулевого числа определено Ч исло, обратное к ( обозначается или ) такое, что 51
Вопрос : существует ли аналог числа 1 и аналог обратного числа среди матриц ? 52
Квадратная матрица называется диагональной, если все её элементы вне главной диагонали равны нулю. Пример : Диагональная матрица называется единичной, если все её диагональные элементы – единицы. Пример : 53
Единичная матрица обозначается или. Единичная матрица размера обозначается так же или : 54
Если для матрицы определено произведение, то Аналогично, Пример : 55
Матрица называется обратной к матрице и обозначается, если Если существует, то матрица A называется обратимой. 56
Пример : так как и 57
Теорема. Обратная матрица существует только для невырожденной квадратной матрицы. Пример : существует, так как 58
Теорема. Пример. 59
Пусть – квадратная матрица. Найти. Если, то не существует. Для каждого элемента матрицы вычислить его алгебраическое дополнение. Записать все алгебраические дополнения в виде матрицы и транспонировать её. Получится присоединённая матрица, обозначаемая или или. 60
Итак, 61
Обратная матрица вычисляется по формуле 62
Пример. Найти методом присоединённой матрицы, где Решение. 1. , следовательно существует. 63
2. 64
2. ( продолжение ) 65
(продолжение) 66
3. 67
Проверка: Ответ: 68
В общем случае система с уравнениями и неизвестными имеет вид (1) 69
Структурные составляющие : 70
Пример : Здесь m=3, n=3, 71
Решением системы называется такой набор чисел ( с 1, с 2,…, с n ), что при его подстановке в систему вместо соответствующих неизвестных ( с 1 вместо х 1, …, с n вместо х n ) каждое из уравнений системы обращается в тождество. Если система ( 1 ) имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной ; система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной. 72
Система называется определенной, если она имеет единственное решение; и неопределенной, если она имеет более одного решения. 73
Система уравнений Р авносильна матричному уравнению 74
Мы сможем решить систему, если сможем решить данное матричное уравнение. 75
В нашем случае 76
77 Метод обратной матрицы Теорема. Если число уравнений совпадает с числом неизвестных и определитель, то система (1) имеет единственное решение
