Тема «Решение систем линейных уравнений методом Крамера»
Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения. Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение. 1. Область применения метода Крамера
Рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными x и y : Числа Такую запись системы, в которой свободные члены находятся в правых частях, будем называть стандартной. Определение: Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными называется всякая пара чисел (x,y), обращающая эту систему в тождество. Если существует только одна такая пара, то решение называется единственным. Например, называются коэффициентами системы ; - свободными членами. В записи коэффициентов индекс называется номером строки (уравнения), а индекс называется номером столбца (неизвестного). (1)
Введем в рассмотрение следующие три определителя для системы (1): Определитель, составленный из коэффициентов системы, называется определителем системы. Определители,,полученные из определителя системы заменой соответствующего столбца столбцом свободных членов, называются вспомогательными. 2. Теорема Крамера
Теорема (правило Крамера ). Есл и 0, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам Данные формулы называются формулами Крамера. Пример 1. Решить по правилу Крамера систему уравнений Решение. Вычислим определитель системы
Так как определитель системы отличен от нуля, то, согласно правилу Крамера, решение системы существует, единственно и находится по формулам Крамера. Вычислим определители : По формулам Крамера находим неизвестные и
Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение (система совместна и определена) Условия:
Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений (система совместна и неопределена) Условия: т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.
Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет (система несовместна) Условия:
Пример. Решить систему линейных уравнений методом Крамера: Решение. Находим определитель системы:
По формулам Крамера находим: Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.
