Доцент, к.ф.м.н. Богданов Олег Викторович 2016 Дифференциальные уравнения и системы. ( Пр. 1 )
Уравнения 1-го порядка Уравнения высших порядков Уравнения с разделяющимися переменными 2. Однородные уравнения 3. Линейные уравнения 4. Уравнения Бернулли Уравнения в полных дифференциалах Уравнения, допускающие понижение порядка Линейные уравнения высших порядков а) однородные б) неоднородные в) неоднородные уравнения с правой частью специального вида Системы дифференциальных уравнений
Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, которое связывает независимую переменную, искомую функцию и производные искомой функции. П о р я д о к дифференциального уравнения определяется порядком старшей производной, входящей в уравнение. Дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную
Формы записи дифференциального уравнения 1-го порядка: явная, неявная, дифференциальная. Например: явная, неявная, дифференциальная. Нахождение решения дифференциального уравнения называется его интегрированием Метод решения уравнения определяется типом уравнения.
Р е ш е н и е м дифференциального уравнения называется любая дифференцируемая функция которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Общим интегралом уравнения называется его решение, полученное в неявном виде. Каждое дифференциальное уравнение первого порядка имеет бесконечное множество решений. Все это множество можно описать одной функцией, которая называется общим решением или общим интегралом дифференциального уравнения. Из этого множества можно выбрать конкретное (частное) решение, если задать начальное условие. Н а ч а л ь н ы м у с л о в и е м для уравнения первого порядка является задание значения искомой функции при заданном значении независимой переменной, т.е. О б щ и м решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется функция З а д а ч а К о ш и -- нахождение частного решения, удовлетворяющего заданному начальному условию.
Уравнение с разделенными переменными – это уравнение вида Решение таких уравнений заключается в почленном интегрировании левой и правой его частей множителем при является функция а множителем при является функция
Это уравнения вида или или В уравнении с разделяющимися переменными правая часть представляет собой, или может быть представлена в виде произведения (или отношения) двух функций, одна из которых зависит только от , а другая -- только от Если уравнение изначально задано в дифференциальной форме то оно будет уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде
1) Заменяем 2) Умножаем обе части уравнения на 3) Делим на "стоящую не у своего дифференциала" функцию 4) Интегрируем обе части уравнения - общий интеграл уравнения
1) Используя свойство показательной функции и, заменяя получим 2) Переносим в правую часть, умножаем на и делим на 3) Интегрируем и получаем общий интеграл Или, окончательно
1) Собираем слагаемые с одну часть уравнения, а слагаемые с в другую. 2) Выносим и за скобки. 3) Выносим и за скобки и получаем делим на произведение «стоящих не у своих дифференциалов», и интегрируем т.е. функций, Ответ:
Рассмотрим пример нахождения частного решения уравнения по заданному начальному условию. Решить задачу Коши 1) Находим сначала общее решение уравнения: Общее решение 2) Определим значение константы Подставим в общее решение значения исходя из начального условия. 3) Полученное значение подставляем в выражение для общего решения и записываем частное решение:
О п р е д е л е н и е. Дифференциальное уравнение называется однородным, если его правая часть есть однородная функция своих аргументов Т.е. уравнение первого порядка будет являться однородным, если его можно представить в виде
Как определить, что уравнение является однородным? Возможны две основные ситуации: Первая: Вторая: Т.о. к однородным могут относиться уравнения, в которых отношения стоят под знаком какой-либо функции.
Все слагаемые числителя и знаменателя имеют третью степень, разделим на Т.о. к однородным относятся дифференциальные уравнения, правая часть которых является отношением двух многочленов, причем все члены числителя и знаменателя имеют одинаковую суммарную степень переменных. Тогда после деления числителя и знаменателя дроби на останутся только постоянные числа и отношения в разных степенях.
РЕШЕНИЕ однородных уравнений Однородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой Уравнение однородное и не требует никаких предварительных преобразований 1) Делаем замену и все преобразования, которые необходимы 2) Разделяем переменные.
3) Интегрируем обе части выражения. 4) Делаем обратную замену Получили общее решение уравнения.
1) Разделим на и выразим в явном виде затем разделим числитель и знаменатель правой части уравнение на 2) Сделаем замену Уравнение примет вид 3) Разделяем переменные 4) Интегрируем 5) Делаем обратную замену
Делаем замену Общий интеграл Разделяем переменные Уравнение однородное
Уравнение 1-го порядка будет линейным, если искомая функция и ее производная входят в уравнение в первых степенях и не перемножаются. Общий вид линейного уравнения Всякое линейное уравнение прежде, чем применять методы его решения, необходимо преобразовать к такому "классическому" виду. Метод Бернулли (метод подстановки) Этот метод позволяет с помощью подстановки сводить любое линейное уравнение к двум уравнениям с разделяющимися переменными относительно функций и
1) Решение уравнения ищем в виде произведения двух функций Тогда 2) Подставляем выражение для функции и ее производной в уравнение, группируем второе и третье слагаемые и выносим общий множитель 3) Функцию равно нулю. Тогда получаем систему двух дифференциальных уравнений для нахождения функций ищем из условия, что выражение в скобках и
4) Из 1-го уравнения находим функцию 5) Полученное выражение для функции подставляем во 2-е уравнение системы и находим вторую функцию 6) Записываем общее решение
Преобразуем уравнение к классическому виду Делаем замену
Составляем систему Общее решение
Уравнение Бернулли- это уравнение вида где любое рациональное число, исключая случаи: Уравнение Бернулли сводится к линейному, поэтому при решении конкретных примеров уравнение Бернулли решается так же как и линейное, т.е. рассмотренным выше методом Бернулли 1) Решение уравнения ищем в виде:
3) Получаем систему 6) Общее решение
Решить задачу Коши
Таким образом, общее решение исходного уравнения Для получения частного решения подставим начальное условие в полученное общее решение Частное решение:
З а м е ч а н и е. Дифференциальное уравнение может быть Линейным уравнением или уравнением Бернулли не только относительно переменной, но и относительно Решение уравнения ищем в виде: В остальном решение не отличается от стандартной ситуации. Например, уравнение не является линейным относительно но может быть приведено к линейному относительно Делим на Получаем линейное уравнение
Уравнение является уравнением в полных дифференциалах, если выполняется условие Если условие выполняется, то левая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой, пока неизвестной, функции т.е. Тогда, в соответствии с уравнением, и поэтому общий интеграл уравнения в полных дифференциалах запишется в виде Таким образом, решение уравнения сводится к нахождению функции
Для нахождения функции дифференциала функции двух переменных сравним выражение для полного с левой частью уравнения Из этого сравнения видно, что Эти соотношения используются для нахождения функции 1) Проверяем условие Данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
2) Находим функцию . Для этого интегрируем по функцию Переменная при этом считается постоянной Здесь постоянная интегрирования записывается в виде функции и эту функцию мы должны определить, используя для этого второе соотношение Полученное выражение для дифференцируем по переменной и приравниваем к функции
Тогда выражение для функции примет вид и общий интеграл уравнения или
Данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, т.к. Выполнение критерия означает, что существует некая функция , для которой
Из первого равенства, интегрируя по находим Из второго равенства, интегрируя по находим Искомая функция (недостающие слагаемые из Общий интеграл уравнения
Здесь Проверяем критерий: Частные производные равны. Данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Нужно найти функцию Из находим Из находим вторая функция включает в себя первую, поэтому Общий интеграл уравнения
Дифференциальным уравнением которое содержит независимую переменную го порядка называется уравнение, искомую функцию и ее производные 1-го и 2-го порядка. Уравнение го порядка может быть записано в я в н о й форме если оно разрешено относительно старшей производной или в н е я в н о й Р е ш е н и е м дифференциального уравнения го порядка называется любая дважды дифференцируемая функция которая при подстановке в уравнение, обращает его в тождество.
З а д а ч а К о ш и для уравнения состоит в нахождении частного решения уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям. Н а ч а л ь н ы м и у с л о в и я м и для уравнения го порядка являются задания значений искомой функции и ее производных при заданном значении О б щ и м р е ш е н и е м уравнения 2-го порядка называется функция Заметим, что количество констант в общем решении уравнения равно порядку уравнения. Аналитический аппарат решения уравнений высшего порядка достаточно хорошо разработан для линейных уравнений. Нелинейные уравнения можно аналитически решить только, если удается понизить порядок уравнения до первого. Но понизить порядок уравнения возможно в следующих случаях.
Тип I. Уравнения вида Решение такого уравнения находится путем последовательного интегрирования. общее решение уравнения
Уравнения второго порядка, не содержащие явно искомую функцию Тип II. Уравнения этого типа сводятся к уравнениям 1-го порядка с помощью подстановки Уравнение примет вид решая которое находим сначала функцию а затем, интегрируя эту функцию, находим искомую функцию
Уравнение второго порядка не содержит в явном виде функцию Делаем подстановку тогда После подстановки получаем уравнение первого порядка Это уравнение допускает разделение переменных Интегрируя, находим искомую функцию, т.е. получаем общее решение (Интеграл решался методом интегрирования по частям)
Тип III. Уравнения второго порядка вида В уравнении отсутствует в явном виде независимая переменная Порядок уравнения можно понизить до первого подстановкой тогда Интегрируя, получаем
Решить задачу Коши Так как и то можно сразу найти Итак, имеем Так как , то Частное решение или
Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, в котором искомая функция и ее производные входят в первых степенях и не перемножаются. Линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид Если то уравнение называется о д н о р о д н ы м. Если то уравнение называется н е о д н о р о д н ы м.
Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения 2-го порядка Если функции решениями линейного однородного уравнения являются линейно независимыми то его общее решение является их линейной комбинацией Метод решение линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами – это метод Эйлера Решение уравнения ищется в виде После подстановки в уравнение получаем квадратное уравнение которое называется х а р а к т е р и с т и ч е с к и м уравнением
Характеристическое уравнение получается из данного дифференциального формальной заменой в нем Формулы для нахождения корней квадратного уравнения
В зависимости от знака дискриминанта уравнения возможны три случая. 1. Если уравнение имеет два различных действительных корня и и две линейно независимых функции из которых составляется общее решение однородного уравнения 2. Если уравнение имеет два одинаковых действительных корня и две линейно независимых функции и из которых составляется общее решение однородного уравнения 3. Если уравнение имеет пару комплексно-сопряженных корней и две линейно независимых функции и общее решение уравнения имеет вид (1) (2) (3)
или или
Рассмотрим случай отрицательного дискриминанта квадратного уравнения. Оно имеет в этом случае комплексно-сопряженные корни Числа и действительные, а мнимая единица, определяемая соотношением или Теперь можно записывать решения квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом:
Рассмотрим уравнения вида Если -- какое-либо частное решение данного неоднородного уравнения, а общее решение соответствующего однородного уравнения, то общее решение неоднородного уравнения есть сумма Теорема о структуре общего решения неоднородного линейного уравнения.
Этот метод позволяет находить частное решение неоднородного уравнения в случаях, когда правая часть уравнения имеет специальный вид где многочлены. Схема нахождения общего решения 1. Записываем и решаем соответствующее однородное уравнение получаем общее решение однородного уравнения в виде 2. Находим частное решение неоднородного уравнения Это частное решение должно повторять в общем виде выражение для правой части неоднородного уравнения Находим корни и
3. Кроме того, определяем характерное число (в общем случае - комплексное), которое нужно сопоставить с корнями характеристического уравнения. При этом: а) если это число не является корнем характеристического уравнения, то выражение для повторяет общий вид правой части уравнения, б) если это число является однократным корнем характеристического уравнения, то это выражение необходимо умножить на в) если это число является двукратным корнем характеристического уравнения, то выражение общего вида необходимо умножить на 4. После подстановки в уравнение и нахождения коэффициентов записываем выражение для и общее решение в виде
Выражения для многочленов с неопределенными коэффициентами: многочлен нулевой степени, многочлен 1-ой степени, многочлен 2-ой степени, многочлен 3-ей степени и т.д. Выражения для случая тригонометрических функций в правой части И т.п.
общее решение однородного уравнения а) б) Проверяемое в этом случае число не совпадает с корнями характеристического уравнения, поэтому частное решение повторит в общем виде правую часть уравнения, в) Общее решение: Неопределенные коэффициенты пока не нахдим.
общее решение однородного уравнения a) b) Проверяемое в этом случае число совпадает с одним из корней характеристического уравнения, поэтому частное решение повторит в общем виде правую часть уравнения и дополнительно умножается на частное решение неоднородного уравнения c) Общее решение:
общее решение однородного уравнения a) b) Проверяемое в этом случае число не совпадает с корнями характеристического уравнения, поэтому частное решение повторит в общем виде правую часть уравнения c) Общее решение:
общее решение однородного уравнения b) а) Проверяемое в этом случае число совпадает с одним из корней характеристического уравнения, поэтому частное решение, повторив в общем виде правую часть уравнения, дополнительно умножается на Общее решение неоднородного уравнения частное решение
а) общее решение однородного уравнения б) Проверяемое в этом случае число совпадает с обоими корнями характеристического уравнения, поэтому частное решение, повторив в общем виде правую часть уравнения, дополнительно умножается на Общее решение неоднородного уравнения
общее решение однородного уравнения a) b) Проверяемое в этом случае число не совпадает с корнями характеристического уравнения, поэтому частное решение повторит в общем виде правую часть уравнения, т.е. c) Записываем общее решение неоднородного уравнения
a) общее решение однородного уравнения b) Проверяемое в этом случае число совпадает с корнями характеристического уравнения, поэтому частное решение поэтому частное решение, повторив в общем виде правую часть уравнения, дополнительно умножается на c) Записываем общее решение неоднородного уравнения
общее решение однородного уравнения Проверяемое в этом случае число не совпадает с корнями характеристического уравнения, поэтому частное решение повторит в общем виде правую часть уравнения, т.е. Записываем общее решение неоднородного уравнения a) b) с)
общее решение однородного уравнения Проверяемое в этом случае число не совпадает с корнями характеристического уравнения, поэтому частное решение повторит в общем виде правую часть уравнения, Записываем общее решение неоднородного уравнения
общее решение однородного уравнения Проверяемое в этом случае число совпадает с корнями характеристического уравнения, поэтому частное решение повторит в общем виде правую часть уравнения и дополнительно умножается на Записываем общее решение неоднородного уравнения
Рассмотрим примеры, в которых показаны приемы нахождения неопределенных коэффициентов Проверяемое в этом случае число "0" не совпадает ни с одним корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение повторит в общем виде правую часть уравнения, т.е. Для нахождения пока неопределенных коэффициентов подставим это решение в исходное уравнение вместо найдя предварительно
Тогда Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях равенства, имеем Записываем частное решение c) Общее решение неоднородного уравнения:
Правая часть уравнения есть многочлен 2-ой степени и проверяемое число cовпадает с одним из корней характеристического уравнения, поэтому выражение для повторит общий вид правой части и будет содержать множитель Подставим это выражение в исходное уравнение, найдя предварительно Имеем равенство двух многочленов Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях равенства
Частное решение Общее решение неоднородного уравнения
Находим частное решение общее решение однородного уравнения Правая часть и число двукратным корнем характеристического уравнения, поэтому выражение для повторит общий вид правой части и будет содержать множитель Подставим это выражение в исходное уравнение, найдя предварительно
Подставим в уравнение и сократим на раскрываем скобки и приводим подобные Откуда имеем Записываем частное решение Общее решение неоднородного уравнения
Составляем выражение для Проверяемое число Правая часть не является корнем характеристического уравнения, поэтому выражение для просто повторит общий вид правой части Для нахождения неопределенных коэффициентов найдём первую и вторую производные от
Подставим их в исходное уравнение Приведем подобные члены: Приравнивая в этом равенстве коэффициенты при синусах и косинусах имеем систему уравнений Частное решение: Общее решение исходного уравнения
Системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами называются системы вида неоднородная система однородная система Решение системы - это совокупность функций, обращающих каждое уравнение системы в тождество
Этот метод представляет собой метод сведения системы к одному уравнению высшего порядка. Метод достаточно прост и легко реализуем для системы 2-го порядка. Найти общее решение однородной системы a) Продифференцируем первое уравнение по b) Значение подставим из второго уравнения c) Значение находим из первого уравнения и подставляем Окончательно система свелась к уравнению
Находим его общее решение Вторую функцию находим согласно 1-му уравнению системы Общее решение системы
Найти общее решение неоднородной системы a) Продифференцируем первое уравнение по b) Значение подставим из второго уравнения Таким образом, имеем неоднородное уравнение Решаем сначала соответствующее однородное уравнение
Частное решение уравнения ищем по виду правой части После подстановки в уравнение и нахождения неопределенных коэффициентов имеем Частное решение
Общее решение для первой функции Из первого уравнения системы имеем Находим вторую функцию. Ответ:
