Тема : Элементы теории вероятностей. Законы распределения случайных величин. Кафедра медицинской и биологической физики
Случайное событие. Вероятность события. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Законы распределения случайных величин Основные характеристики дискретных и непрерывных случайных величин Правила группировки данных
События ( явления ) подразделяют на три вида: достоверные, невозможные, случайные.
событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий. Примером достоверных событий может быть и наступление времени 15.00 после 14.59, и образование кристаллов солей после испарения соленой воды и др.
событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий. В качестве невозможных событий можно назвать и образование устойчивого следа в воздухе после полета птицы, и самопроизвольное преобразование гранита в воду, и притяжение магнитом полиэтилена и др.
событие, которое при осуществлении совокупности условий может либо произойти, либо не произойти. Примерами случайных событий являются выбор конкретной конфеты из коробки, содержащей одинаковые конфеты, перемещение броуновской частицы, бросание монетки с целью получить на верхней стороне “орел” или “решка” и т.д.
если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. В качестве примера несовместных событий укажем розыгрыш в лотерею, где событие выигрыша всегда несовместно с проигрышем.
если появление одного события не изменяет вероятности другого события. В качестве примера не зависим ых событий укажем бросание подряд 2 монет ок с целью получить на верхней стороне “орел” или “решка”.
Несколько случайных несовместных событий образуют полную группу, если в результате испытания появится только одно из них. Примером полной группы - выбор случайной цифры в забытом телефонном номере, который состоит из 10 несовместных событий - десятичных цифр 0, 1, 2, 3 … 9.
Если полная группа состоит только из двух событий, то такие события обычно называют противоположными и обозначают A - исходное событие, А - противоположное. Например, стрелок выстрелил по мишени. Обязательно произойдет одно из двух событий: попадание, промах.
Вероятностью события A называют отношение числа благоприятствующих этому событию элементарных событий к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных событий, образующих полную группу. где m - число элементарных событий, благоприятствующих событию A, n - число всех возможных элементарных событий.
в ероятность достоверного события равна P ( A )= n/n=1. вероятность невозможного события равна P ( A )= 0 /n=0. вероятность случайного события заключена в пределах 0< P ( A )<1.
отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. m - число испытаний, где проявилось событие A, n - число всех испытаний.
Вероятностью события A называют число, к которому стремиться относительная частота события A при увеличении количества испытаний.
Число испытаний Число появлений “орла” Относительная частота 4040 2048 0,5069 12000 6019 0,5016 24000 12012 0,5005
P(A+B)= P(A B)= P(A)+P(B) P(A)+P(B) - P(A B) P(A) P(B) P(A) P A (B) несовместные совместные независимые зависимые
Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: P(A+B)=P(A)+P(B) Следствие. сумма вероятностей несовместных событий, образующих полную группу, равна 1. Для двух противоположных событий P(A)+P( A )=1
Вероятность появления одного из двух совместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления: P(A+B)=P(A)+P(B) - P(A B)
Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: P(A B)=P(A) P(B)
Найти вероятность совместного появления “орла” при одном бросании двух монет. Решение. Вероятность появления “орла” для первой монеты P(A)=0,5. Вероятность появления “орла” для второй монеты P(B)=0,5. Так как события A и B независимые, то: P(A · B)=P(A) · P(B)=0,5 · 0,5=0,25.
Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одно из них на условную вероятность другого события, вычисленную в предположении, что первое событие уже произошло: P(A B)=P(A) P A (B)
вероятность события B, вычисленную в предположении, что событие A уже наступило.
В коробке имеется две израсходованные и восемь новых ампул. Найдите вероятность того, что подряд будут взяты одна новая и одна израсходованная ампула. Решение. Вероятность события A (извлечь новую ампулу) равна P(A)=8/10=0,8. Вероятность события B (извлечь пустую ампулу после извлечения новой) равна P A (B)=2/9 0,222. Искомая вероятность P(A · B)=P(A) · P A (B) = 0,8 · 0,222 0,178.
Вероятность события A, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B 1, B 2, B 3, …, B n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события A: P(A)=P( B 1 )P B1 ( A ) + P( B 2 )P B2 ( A ) +… + P( B n )P Bn ( A )
P(A)=P( B 1 )P B1 ( A ) + P( B 2 )P B2 ( A ) +… + P( B n )P Bn ( A ) краткая запись
Пусть событие A может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B 1, B 2, B 3, …, B n,образующих полную группу. Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Произведено испытание, в результате которого появилось событие A. Как же изменились вероятности гипотез (в связи с тем, что событие A уже наступило)?
i =1,2,…, n
Вероятность одного события B, состоящего в том, что в n независимых испытаниях событие A наступит k раз и не наступит n-k раз, по теореме умножения вероятностей независимых событий равна p k (1-p) n-k. Но таких событий B может быть столько, сколько существует вариантов выбора k элементов из n ( или число сочетаний) q =1- p
Требуется узнать какова вероятность выпадения “орла” ровно 4 раза при подбрасывании монеты 6 раз? Решение. Счита ем каждое подбрасывание монеты независимым. Очевидно, что p =0,5, а q =0,5 :
Случайная величина – это такая величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее какое именно. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ НЕПРЕРЫВНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ
Дискретная случайная величина – это такая величина, которая может принимать только конечное или счетное множество значений. Непрерывная случайная величина – это такая величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Может задаваться в виде: таблицы графика формулы (аналитически).
х х 1 х 2 …… х n Р Р 1 Р 2 …… Р n условие нормировки
Дискретное распределение Непрерывное распределение
Функция плотности вероятностей распределения частоты пульса у студентов 1 курса КрасГМА
Математическое ожидание Дисперсия Среднее квадратическое отклонение
( среднее значение ) равно сумме произведений значений, принимаемых этой величиной, на соответствующие им вероятности: М(x)=x 1 Р 1 + x 2 Р 2 +... + x n P n =
это математическое ожидание квадрата соответствующего отклонения случайной величины x от ее математического ожидания: D ( x ) = M [ x – M ( x )] 2 или
M(x)=7 M(x)=7
Сезон x i P i x i P i (x i – M) 2 (x i – M) 2 P i x 1 - Весна 1 0, 3 0,3 1,488 0,447 x 2 - Лето 2 0, 19 0,38 0,048 0,009 x 3 - Осень 3 0, 5 1,5 0,608 0,304 x 4 - Зима 4 0, 01 0,04 3,168 0,032 2,22 0,792 Рассчитать основные числовые характеристики для осадков в виде дождя. M(x)= D(x)=
М (x)=1 0, 3 +2 0, 19 +3 0, 5 +4 0, 01 =2, 22 D(x)=(1-2, 22 ) 2 ∙0, 3 +( 2 -2, 22 ) 2 ∙0, 19 + (3-2, 22 ) 2 ∙0, 5 +(4-2, 22 ) 2 ∙0, 01 = 0, 792 (x)= = 0,8 90
Формула Бернулли описывает вероятность появления Р n (k) события А в n независимых испытаниях k раз.
Предельный случай биномиального распределения при n , когда вероятность ожидаемого события А очень мала (p 0, а вероятность альтернативы q 1). Часто распределение Пуассона называют законом редких явлений. характеризуется средней арифметической = np и дисперсией σ 2 = D причем D np
Функция F(х) распределения вероятностей Функция f ( x ) плотности распределения вероятностей f(x)=F ( x )
( или накопленной вероятности ). равна вероятности того, что случайная величина Х примет значение меньше наперед заданного числа x. F ( x ) = P (Х< x ) Свойства : F(x) -неубывающая 0 F(x) 1 P(a<x b)=F(b)-F(a)
отношение вероятности Р(a<x<b) попадания случайной величины x в тот или иной интервал x ее значений к величине этого интервала: или при x 0 :
зависимость плотности распределения от значений случайной величины x. условие нормировки
Математическое ожидание Дисперсия Среднее квадратическое отклонение
распределение газовых молекул по скоростям. В равновесном состоянии макроскопические параметры газа (Р, V, Т) остаются постоянными, а микросостояния меняются. функция плотности распределения вероятности наиболее вероятная скорость молекул средняя скорость молекул
распределение Больцмана – это распределение частиц в силовых полях (гравитационном, электромагнитном и т.п.) При сравнении распределений Больцмана и Максвелла видно, что это распределения частиц по энергиям (потенциальной и кинетической)
x i – интервал группировки ( класс ) x i = …= 2 7 - 24=30-27 =3
Из имеющихся значений признака x выбрать наименьшее (x min ), наибольшее (x max ), т.о. определяют размах распределения (x max – x min ). Определить число классов группировки: k=1+3,32·lgn, где n – число измерений. Величину k округляют до целых чисел.
Определить оптимальную величину класса (интервала группировки) Выбрать границы классов. Границы первого класса следует выбрать так, чтобы он содержал наименьшее значение, но не начинался с него. Последующие классы образуются добавлением величины интервала x i. Определить середину интервала <x i >.
Нами определены: основные характеристики случайных величин (дискретных и непрерывных) и рассмотрены теоремы теории вероятностей; Законы распределения и правила группировки данных
На столе находятся 15 ампул с новокаином, 25 – с пенициллином и 10 – с лидокаином. Вероятность того, что наугад выбранная ампула окажется ампулой с пенициллином, равна: 0,1 0,15 0,25 0,5
Обязательная: Павлушков И.В. Основы высшей математики и математической статистики: учебник для мед.вузов.- М.: ГЭОТАР-Медиа, 2007.- Дополнительная: Математика в примерах и задачах: учебное пособие /Л.Н.Журбенко, Г.А. Никонова, Н.В.Никонова и др.- М.: ИНФРА-М, 2010.- Шаповалов К.А. Основы высшей математики: учебное пособие. -Красноярск: Печатные технологии, 2004 Математика: метод. указания к внеаудит. работе для студ. по спец. – педиатрия /сост. Л.А.Шапиро и др.- Красноярск: тип.КрасГМУ, 2009.- Электронные ресурсы: ЭБС КрасГМУ Ресурсы интернет
