Понятие логарифма
. Логарифмом положительного числа b по основанию а называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b log a b = c a c = b (а ≠ 1, a > 0, b > 0 ) log a b a = b - основное логарифмическое тождество
log 2 8 = log 3 729 = log 0,2 25 = log 4 8 = log 2 2 = log 10 1 = log 49 1/7 = log 0,1 10000 = 3, 2 3 = 8 ; 6, 3 6 = 729 ; -2, (0, 2 ) -2 = 25 ; 1,5, 4 1,5 = 8 ; 1, 2 1 = 2 ; 0, 10 0 = 1 ; -0,5, 49 -0,5 = 1/7 ; -4, 0,1 -4 = 10000.
. Потребность в сложных расчётах в XVI веке быстро росла, и значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел, а также извлечением корней. В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрической и арифметической прогрессии. Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание, а извлечение корня степени n сводится к делению логарифма подкоренного выражения на n. Первым эту идею опубликовал в своей книге « Arithmetica integra » Михаэль Штифель, который, впрочем, не приложил серьёзных усилий для реализации своей идеи.
В 1614 году шотландский математик-любитель Джон Непер опубликовал на латинском языке сочинение под названием « Описание удивительной таблицы логарифмов ». В нём было краткое описание логарифмов и их свойств. Термин логарифм, предложенный Непером, утвердился в науке. Теорию логарифмов Непер изложил в другой своей книге «Построение удивительной таблицы логарифмов», изданной посмертно в 1619 году его сыном. Сведения из истории Слово логарифм происходит от греческого λόγοφ (число) и α ρινμοφ (отношение) и переводится, следовательно, как отношение чисел.
Логарифмы необычайно быстро вошли в практику. Изобретатели логарифмов не ограничились разработкой новой теории. Было создано практическое средство – таблицы логарифмов, – резко повысившее производительность труда вычислителей. Добавим, что уже в 1623 г., т. е. всего через 9 лет после издания первых таблиц, английским математиком Д. Гантером была изобретена первая логарифмическая линейка, ставшая рабочим инструментом для многих поколений. Первые таблицы логарифмов составлены независимо друг от друга шотландским математиком Дж. Непером (1550 - 1617) и швейцарцем И. Бюрги (1552 - 1632).
Круговая логарифмическая линейка (логарифмический круг) Часы Breitling Navitimer Логарифмическая линейка
Основные свойства логарифмов 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. = -1 9. =
№ Задание Варианты ответов 1. ; А) 3 ; Б) 64; В) 4 ; Г). 2. 2 А) 0; Б) 32; В) 1; Г) 1. 3. - ; А) 4 ; Б) 64 ; В) 16; Г) 3. 4. - 3 ; А) 2; Б) 3 ; В) ; Г). 5. , если =15; =6; А) 2,5; Б) 9; В) 21; Г) 90. 6. , если =5; =7; А) -2; Б) -5 ; В) ; Г) 35. 7. , если = -3; А) ; Б) 2 ; В) -2; Г) -. 8. 0,04, если = -5; А)- 1 ; Б) 1 ; В) - 0,2 ; Г)0,2. 9. ; А) 49; Б) -1; В) ; Г). 10. ; А) 14; Б) 3,5 ; В) 3 ; Г) 1 № Задание Варианты ответов 1. 2. А) 0; Б) 32; В) 1; Г) 1. 3. А) 4 ; Б) 64 ; В) 16; Г) 3. 4. 5. А) 2,5; Б) 9; В) 21; Г) 90. 6. 7. 8. А)- 1 ; Б) 1 ; В) - 0,2 ; Г)0,2. 9. 10.
. Функцию вида y = log a х, где а ≠ 1, a > 0, х > 0 называют логарифмической функцией
х у 0 y = log a х, а > 1 1 y = log а х, 0 < а < 1 х у 0 1
а) При а > 1 функция возрастает на ( 0; +∞) ; б) при 0 < а < 1 функция убывает на ( 0; +∞). а) Нули функции: у = 0 при х = 1 ; б) точек пересечения с осью ординат нет. Свойства функции: D(y) = ( 0; +∞), E(y) = (-∞; +∞).
Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением. Логарифмические уравнения log a x = b. 1) Простейшие: Решение: x=a b ОДЗ не надо ! f(x) = h( х ) f(x) > 0 h( х ) > 0 ОДЗ 2) Сводящиеся к простейшим: log a f(x) = log a h( х ) ⟺
Методы решения логарифмических уравнений Использование определения логарифма log a b = c b = a c Пример: log 2 (5 + 3log 2 ( x - 3)) = 3 Решение: 5+ 3log 2 (x-3) = 2 3 3log 2 (x-3) = 8-5 | :3 log 2 ( x - 3) = 1 x - 3 = 2 1 x = 5 Ответ: 5
Методы решения логарифмических уравнений Использование свойств логарифмов Пример. log 3 x + log 3 ( x + 3) = log 3 ( x + 24), Решение: О.Д.З.: x>0, х+3˃0, х+24˃0 log 3 ( х ( x + 3 )) = log 3 ( x + 24 ) x(x+3)=x+24 ; x 2 + 2 x - 24 = 0 x={-6;4} х = -6 - п.к. Ответ: x=4
Методы решения логарифмических уравнений Метод подстановки Пример. lg 2 x - 3lg x + 2 = 0 Решение: lg x = t lgx =1 t 2 -3t+2=0 lgx =2 x={10;100} t =1, t = 2
Неравенства вида log a f(x) > log а g( х ), где а ≠ 1, a > 0 называют логарифмическими неравенствами log a f(x) > log а g( х ) 0 < а < 1 а > 1 ОДЗ ОДЗ
Пример 1 Пример 2 Ответ: (6; 14). 1 4 2 х 6 + + − х 4 0 Ответ: [ 0 ; 4].
Пример 3 Пример 4 Логарифмические неравенства. Примеры 0 4 5 + + х 4 0 5 − Ответ: (0; 5) ∪ (40; 45). + + − t 1 1 4
