Если известно изображение, то оригинал может быть найден тремя путями: с помощью таблицы оригинал – изображение; с помощью теоремы свёртки в области оригинала; путём осуществления обратного преобразования Лапласа по формуле обращения с применением теории вычетов. Продемонстрируем первый путь на конкретном примере
Пример 10. Пусть дано изображение и требуется найти оригинал f ( t ), соответствующий этому изображению Разложим изображение на элементарные дроби:
Таким образом, Из таблицы оригинал – изображение тогда сам оригинал
График функции (оригинала) f ( t )
Пример получения оригинала по заданному изображению с помощью свёртки был приведён ранее (см. пример 10). Вычисление интеграла ( 4 ) удобно производить с помощью вычетов. Пусть функция F(p) является изображением, то есть она аналитична в полyплоскости Re p > c 0, стремится к нулю при | p |→∞ в любой полуплоскости Re p ≥ c > c 0 равномерно относительно arg p, и интеграл (4) абсолютно сходится. Пусть, кроме того, функция F ( p ) при Re p < c 0 имеет конечное число особых точек – полюсов.
Функция F ( p ) удовлетворяет условиям леммы Жордана, тогда интеграл вычисленный по прямой, параллельной мнимой оси, сходится к контурному интегралу, где контур интегрирования состоит из указанной прямой и дуги бесконечно большого радиуса. Применяя теорему о вычетах, получим где p = p k – полюсы функции.
Т.к. изображение F ( p ) аналитично при Re p > c 0, то полюсы лежат левее прямой Re p = c 0. Пусть изображение является рациональной функцией, то есть представляет собой отношение двух многочленов причем m < n и коэффициенты a и b – вещественные числа. Вычислив корни знаменателя, представим это выражение в виде: где k l – кратность корня, причем
Принимая во внимание формулу о вычете относительно кратного полюса, получим: ( 27 ) Рассмотрим некоторые частные случаи. Пусть теперь все корни знаменателя A ( p ) изображения F ( p ) будут простыми (не кратными), то есть k l = 1. Тогда следовательно для простых полюсов изображения F ( p ) ( 28 )
где A ' ( p i ) – производная многочлена A( p ), взятая в точке p = p i. Если в выражении A ( p ) присутствует один нулевой корень, т.е., где то формула ( 28 ) приобретает вид: ( 29 ) Формулы ( 27 ) - ( 29 ) позволяют получить оригинал по соответствующему ему изображению, причем это изображение должно иметь вид рациональной дроби. В этом случае получение оригинала сводится к определению полюсов функции F(p) и, в зависимости от характера этих полюсов, применить какую-либо из указанных формул. Эти формулы называются теоремами ( формулами ) разложения.
Пример 1 1. Найти оригинал для изображения используя теоремы разложения. Изображение содержит простой нулевой полюс и два простых ненулевых полюса поэ - тому применим формулу ( 29 ). Здесь тогда
Теоремы (формулы) разложения являются универсальным средством для определения оригинала по известному изображению, однако иногда их применение затруднительно и громоздко, особенно в тех случаях, когда полюсы функции F ( p ) представляют собой комплексные числа. В таких случаях оказывается более удобным использовать свойства прямого и обратного преобразований Лапласа совместно с таблицей «оригинал – изображение» по Лапласу.
Формулы ( 27 ) - ( 29 ) целесообразно применять при работе с математическими пакетами на персональных компьютерах, где реализованы алгоритмы численного определения корней полиномов высокой степени (до n = 19).
С помощью преобразования Лапласа можно весьма просто производить решение линейных диф - ференциальных уравнений с постоянными коэффици - ентами (см. теорему 8 ) Заменяя производную на p n F ( p ) и учитывая начальные условия, можно получить функцию Φ ( p ), для которой с помощью таблицы преобразования Лапласа, свертки в области оригиналов или формул разложения может быть получен оригинал, то есть решение дифференциального уравнения.
Пример 12. Решить дифференциальное уравнение: Ранее, в примере 8, при рассмотрении теоремы о дифференцировании оригиналов было получено изображение этого уравнения: Разложим изображение на элементарные дроби и найдём оригиналы для каждого из слагаемых: Числитель изображения
т.е. отсюда Таким образом, Поскольку
то оригинал Производные от оригинала: Проверка начальных условий: Начальные условия совпали с заданными. Проверка решения: Получено тождество!
Часто получение изображения функции f ( t ) в дифференциальном уравнении затруднительно. Рас-смотрим один из возможных вариантов решение этой задачи. Пусть дано уравнение ( 30 ) и заданы нулевые начальные условия Пусть также есть уравнение ( 31 ) и аналогично Операторная форма записи уравнений ( 30 ), ( 31 ) будет иметь вид
( 32 ) где Решая систему уравнений ( 32 ), будем иметь: Но при, поэтому ( 33 ) или ( 34 )
Формулы ( 33 ), ( 34 ) называются формулой или интегралом Дюамеля. Пример 13. Найти решение уравнения при Для уравнения при нулевых начальных условиях изображение X 1 ( p ) определится из операторного уравнения и будет иметь вид:
Определим коэффициенты A, B и C : отсюда Тогда Решение заданного уравнения найдется по формуле ( 33 ) Дюамеля:
П р о в е р к а н а ч а л ь н ы х у с л о в и й. Производная от полученного решения Решение удовлетворяет заданным начальным условиям.
Пусть задано устройство, описываемое системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, на вход которого подано воздействие x ( t ). Пусть устройство не обладает начальным запасом энергии, т.е. начальные условия по внутренним переменным и их производным – нулевые. Система из n линейных дифференциальных уравнений может быть представлена линейным дифференциальным уравнением n - ой степени вида:
( 35 ) где – постоянные коэффициенты, причём Пусть тогда, с учётом нулевых начальных условий, операторная форма записи уравнения ( 35 ) будет иметь вид
Возьмём отношение Отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях называется передаточной функцией W ( p ) устройства или системы. Понятие передаточной функции является основополагающим при исследовании линейных непрерывных или импульсных систем автоматического управления.
