ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ к исследованию функции и построению графика функции Разработано преподавателем математики Проскуряковой И.С.
Научиться определять промежутки возрастания и убывания функции (исследовать функции на монотонность) Научиться находить точки экстремума функции Научиться применять производную к исследованию функции и построению графика
1. 2.
х=3 Внешняя функция Внутренняя функция
Внешняя функция Внутрення функция
Исследование функции на монотонность
Исследовать функцию на монотонность – это значит выяснить, на каких промежутках из области определения функция возрастает, а на каких – убывает.
Функция возрастает Функция убывает
Иду в гору. Функция возрастает на промежутке [b ; a] Иду под гору. Функция убывает на промежутке [a ;с ] 0 a b c x y
Теорема : Если f(x) – непрерывна на промежутке и имеет f´(x), то а) если f´(x) > 0, то f(x) – возрастает б) если f´(x) < 0, то f(x) – убывает f´(x) f (x) + -
Найти производную функции f ΄ (х) Найти стационарные ( f ΄ (х) = 0 ) и критические ( f ΄ (х) не существует ) точки функции у= f (х) Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой Определить знаки производной на получившихся промежутках По знаку производной определить промежутки монотонности функции (если f ΄ (х) > 0 – функция возрастает; если f ΄ (х) < 0 функция убывает; если f ΄ (х) =0 – функция постоянна)
Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными. Внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует, называются критическими
Например : найти промежутки монотонности функции f(x) = x³ - 6x² + 9x – 1 1) f´(x) = 3x² - 12x + 9 2) Найдем стационарные точки: f´(x) = 0, 3x² - 12x + 9 = 0 x² - 4x + 3 = 0 x = 1 и х = 3 3) 4) 5) f ´(x) > 0, при x ϵ (-∞; 1 ) и (3; + ∞ ) f ´(x) < 0, при х ϵ (1; 3) Ответ: при x ϵ (-∞; 1 ) и (3; + ∞ ) функция возрастает, а при х ϵ (1; 3) - убывает х 1 3 f ´(x) f(x) + + -
Нахождение точек экстремума функции
Если в точке х 0 производная меняет знак с «+» на «-», то точка х 0 – это точка максимума х max x max y max точка максимума
Если в точке х 0 производная меняет знак с «-» на «+», то точка х 0 – это точка минимума х min x min y min точка минимума
Если в точке х 0 знаки производной одинаковы, то в точке х 0 экстремума нет х 0 х 0 экстремума нет
Найти производную функции f ΄ (х) Найти стационарные и критические точки функции у = f (х) Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой Определить знаки производной на получившихся промежутках Если f ′ (х 0 ) при переходе через точку меняет знак с «+» на «-», то эта точка – точка максимума. Если f ′ (х 0 ) при переходе через точку меняет знак с «-» на «+», то эта точка – точка минимума. Если f ′ (Х 0 ) не меняет знак, то в этой точке экстремума нет (это точка перегиба).
Решение. 1) у ΄ =12 х ³ - 48х ² + 48х = = 12х(х ² -4х+4) = 12х (х - 2) ² 2) у ΄ =0 при х =0 и х =2 (стационарные точки) 3) 4) 5) Значит: х = 0 – точка минимума, х 0 2 - + + f ´(x)
х = 0 – точка минимума, х min = 0 (0 ;-11) точка минимума (экстремума)
Построим график функции: х у 0 5 2 - 11
Решение. D (у)= (- ∞; +∞ ), четность не определена Найдем стационарные точки: т.к. у ΄ =6х ² +6х=6х(х+1) => 6х(х+1)=0 тогда х=0 и х=-1 стационарные точки Найдем точки экстремума: т.к. и х=-1 – точка максимума х= 0 – точка минимума х 0 -1 f´(x) + + - f(x)
Найдем промежутки монотонности : при x ϵ (-∞; - 1 ] и [ 0; + ∞ ) - функция возрастает при x ϵ [ - 1 ; 0 ] - функция убывает т.к. х=-1 – точка максимума, то у max =0 т.к. х= 0 – точка минимума, у min =-1
Построим график функции: х у 0 -1 -2
