Возрастание и убывание функций Минимум и максимум функции Выпуклость графика функции, точки перегиба Асимптоты графика функции 1
Одним из приложений производной является ее применение к исследованию функций и построению графика функции. Если дифференцируемая на интервале ( a; b ) функция f(x) возрастает (убывает), то: Теорема 1 Установим необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функций. Геометрически теорема означает, что касательные к графику возрастающей (убывающей) функции образуют острые (тупые) углы с положительным направлением оси OX. 2
Справедлива также обратная теорема: Если функция дифференцируема на интервале ( a; b ) и Теорема 2 (достаточные условия возрастания и убывания) то функция возрастает (убывает) на этом интервале. Пример. Исследовать функцию на возрастание (убывание): Область определения: - функция возрастает - функция убывает 3
Точка х 0 называется точкой максимума функции, если: Существует такое δ > 0, что для всех х из δ – окрестности точки х 0 и не равных х 0 выполняется неравенство. Точка х 0 называется точкой минимума функции, если: Значение функции в точке минимума (максимума) называется минимумом (максимумом) Общее название минимума и максимума – экстремум функции. Понятие экстремума всегда связаны с определенной окрестностью из области определения функции, поэтому функция может иметь экстремум только во внутренних точках области определения. y 0 х х 2 x 1 min max 4
Если дифференцируемая функция f(x) имеет экстремум в точке х 0, то ее производная в этой точке равна 0 : Теорема 3 (необходимое условие экстремума) Геометрически равенство (1) означает, что в точке экстремума дифференцируемой функции касательная к ее графику параллельна оси OX. (1) y 0 х х 2 x 1 min max Обратная теорема неверна, то есть если, то это не означает, что х 0 – точка экстремума. Например, для функции : Но х = 0 не является точкой экстремума. : y 0 х 5
Существуют функции, которые в точках экстремума не имеют производной. Например, непрерывная функция: в точке х = 0 производной не имеет, но точка х = 0 – точка минимума функции. y 0 х Таким образом, непрерывная функция может иметь экстремум лишь в точках, где производная равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими. Теорема 4 (первое достаточное условие экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности критической точки х 0, и при переходе через нее (слева направо) производная меняет знак с плюса на минус, то х 0 - точка максимума, с минуса на плюс,то х 0 - точка минимума. 6
Геометрическая интерпретация теоремы 4: Алгоритм исследования функции на экстремум. 1 y 0 х x 0 max y 0 х x 0 min Найти критические точки функции f(x) ; 2 Выбрать из них лишь те, которые являются внутренними точками области определения функции; 3 Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки; 4 Выписать точки экстремума и найти значения функции в них. 7 5 Найти производную функции f(x) ;
Пример. Найти экстремум функции Область определения: Критические точки функции: не существует при 0 8 + - + Точка максимума Точка минимума 8
Иногда бывает удобно использовать другой достаточный признак существования экстремума. Теорема 5 ( второе достаточное условие экстремума) Если в точке х 0 первая производная функции f(x) равна нулю ( ), а вторая производная в точке х 0 существует и отлична от нуля ( ), то при в точке х 0 функция имеет максимум и при - минимум. 9 Пример. Найти экстремум функц ии Область определения Критические точки : - точка максимума - точка минимума
График дифференцируемой функции f(x) называется выпуклым вниз (или вогнутым ) на интервале ( a; b ), если он расположен выше любой его касательной на этом интервале. y 0 х b а График дифференцируемой функции f(x) называется выпуклым вверх (или просто выпуклым ) на интервале ( a; b ), если он расположен ниже любой его касательной на этом интервале. Точка графика функции, которая отделяет его выпуклую часть от вогнутой называется точкой перегиба. с М На интервале (а; с) кривая выпукла вверх На интервале ( c ; b ) кривая выпукла вниз (вогнута) Точка М(с; f (с)) – точка перегиба 10
Теорема 6 Если функция f(x) во всех точках интервала ( a; b ) имеет отрицательную вторую производную, то есть, то график функции на этом интервале выпуклый вверх. Если, то график функции на этом интервале выпуклый вниз. Теорема 7 (достаточное условие существования точек перегиба) Если вторая производная при переходе через точку х 0, в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой х 0 есть точка перегиба. Точка в которой или не существует называется критической точкой второго рода. 11 Условие выпуклости вверх и выпуклости вниз
12 Алгоритм исследования функции на выпуклость и точки перегиба. 1 Найти критические точки второго рода функции f(x) ; 2 Выбрать из них лишь те, которые являются внутренними точками области определения функции; 3 Исследовать знак второй производной слева и справа от каждой критической точки второго рода; 4 Выписать точки перегиба и найти значения функции в них. 5 6 Найти производную функции f(x) ; Найти вторую производную функции f(x) ;
Пример. Исследовать функцию на выпуклость и найти точки перегиба. Область определения: Критические точки второго рода: 0 + - Точка перегиба - функция выпукла - функция вогнута - точка перегиба 13
Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой. y 0 х Асимптоты могут быть наклонными, горизонтальными и вертикальными. d М М d М d Наклонная асимптота Если существуют конечные пределы: то кривая y = f(x) с имеет наклонную асимптоту с уравнением: 14
Если хотя бы один из пределов для нахождения k или b не существует или равен бесконечности, то кривая y = f(x) наклонной асимптоты не имеет. В частности, если k = 0, то, и y = b – горизонтальная асимптота. Таким образом, горизонтальная асимптота это частный случай наклонной асимптоты. Асимптоты графика функции при и при могут быть разными. Поэтому при нахождении k и b иногда необходимо рассматривать отдельно случай, когда и когда. 15
Пример. Найти наклонные асимптоты графика функции график функции не имеет наклонной асимптоты при Следовательно, при график функции имеет горизонтальную асимптоту 16
Прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции y = f(x), если: y 0 х или М d или а Из рисунка видно, что расстояние от точки M ( x; y) до прямой x = a равно Если, то. Для отыскания вертикальных асимптот нужно найти те значения х, вблизи которых функция неограниченно возрастает по модулю. Обычно это точки разрыва второго рода и может быть граница области определения функции. 17
Пример. Найти асимптоты графика функции Область определения функции: - вертикальная асимптота Найдем наклонные асимптоты: - наклонная асимптота 18
