§ 1. Кодирование чисел § 2. Двоичная система счисления § 3. Восьмеричная система счисления § 4. Шестнадцатеричная система счисления 1
§ 1. Кодирование чисел 2
3 Система счисления — это правила записи чисел с помощью специальных знаков — цифр, а также соответствующие правила выполнения операций с этими числами. Счёт на пальцах: Унарная (лат. unus – один) – одна цифра обозначает единицу (1 день, 1 камень, 1 баран, …) только натуральные числа запись больших чисел – длинная (1 000 000?)
4 Непозиционная система счисления — это такая система, в которой значение цифры не зависит от её места ( позиции) в записи числа. унарная египетская десятичная римская славянская и другие…
5 – 1 – 10 – 100 – 1 000 – 10 000 – 100 000 – 100 0000 черта хомут верёвка лотос палец лягушка человек = ? = 1235 2014 = ?
6 I – 1 (палец) V – 5 (раскрытая ладонь) X – 10 (две ладони) L – 50 C – 100 ( Centum ) D – 500 ( Demimille ) M – 1000 ( Mille ) Спасская башня Московского Кремля
7 Правила : (обычно) не ставят больше трех одинаковых цифр подряд если младшая цифра (только одна !) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы ( частично непозиционная!) Примеры : MDC X L I V = 1000 + 500 + 100 – 10 + 50 – 1 + 5 2389 = 2000 + 300 + 80 + 9 2389 = M M C C C L X X X I X M M CCC LXXX IX = 1 644
8 MCDLXVII = MMDCXLIV = MMMCCLXXII = CMXXVIII =
9 3768 = 2983 = 1452 = 1999 =
10 только натуральные числа ( дробные ? отрицательные ?) для записи больших чисел нужно вводить новые цифры сложно выполнять вычисления Какое максимальное число можно записать? ?
11 алфавитная система счисления (непозиционная) Часы Суздальского Кремля
12 Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа. Алфавит системы счисления — это используемый в ней набор цифр. Основание системы счисления — это количество цифр в алфавите (мощность алфавита). Разряд — это позиция цифры в записи числа. Разряды в записи целых чисел нумеруются с нуля справа налево. 6 3 7 5 5 70 300 6000 3 2 1 0 разряды тысячи сотни десятки единицы = 6 · 10 3 + 3 · 10 2 + 7 · 10 1 + 5 · 10 0 развёрнутая форма записи числа основание
13 двоичная восьмеричная шестнадцатеричная и другие… 10110 2 система счисления = 1 2 4 + 0 2 3 + 1 2 2 + 1 2 1 + 0 2 0 4 3 2 1 0 = 22 145 8 2 1 0 = 1 8 2 + 4 8 1 + 5 8 0 = 101 N 0 = 1 ! 123 16 2 1 0 = 1 16 2 + 2 16 1 + 3 16 0 = 291 123 5 2 1 0 = 1 5 2 + 2 5 1 + 3 5 0 = 38 456 7 102 2 365 12 578 8 1 7 2 9 52 1 4 Что неверно? ?
14 Задача. В некоторой системе счисления число 58 записывается как 46 x. Определите основание x этой системы счисления. 46 x 1 0 = 4 x 1 + 6 x 0 4 x + 6 = 58 4 x = 5 2 x = 13 = 4 x + 6 Переведём 46 x в десятичную систему :
§ 2. Двоичная система счисления 15
16 Основание (количество цифр): 2 Алфавит : 0, 1 длинная запись чисел: 1024 = 10000000000 2 запись однородна (только 0 и 1) нужны только устройства с двумя состояниями компьютеру проще выполнять вычисления (умножение сводится сложению и т.п.)
17 2 10 10011 2 4 3 2 1 0 разряды = 1 · 2 4 + 0 · 2 3 + 0 · 2 2 + 1 · 2 1 + 1 · 2 0 = 16 + 2 + 1 = 19 10 2 Выделение степеней числа 2: 21 = 16 + 5 21 = 1 2 4 + 0 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 = 16 + 4 + 1 2 4 2 4 2 2 2 0 = 1 0 1 0 1 2 1 0 0 1 1
18 2 10 2 9 2 8 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1 10 2 77 77 = 64 + 13 8 + 5 4 + 1 1 1 1 1 77 = 1001101 2 0 0 0
19 10011 2 = 1 · 2 4 + 0 · 2 3 + 0 · 2 2 + 1 · 2 1 + 1 · 2 0 = ( 1 · 2 3 + 0 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 · 2 0 ) · 2 + 1 делится на 2 остаток от деления на 2 Последняя цифра двоичной записи числа = остатку от его деления на 2! ! Какое число? ? 1001 2 = 10011 2 : 2 деление нацело 4 3 2 1 0
20 10 2 19 2 9 18 1 2 4 8 1 2 2 4 0 2 1 2 0 2 0 0 1 19 = 10011 2 Какое определить, что число чётное? ?
21 10 7 8 9 + 5 6 7 6 5 3 1 1 1 1 Когда перенос? ? 2 Перенос, когда > 1! ! 1 0 1 1 0 2 + 1 1 1 0 1 1 2 1 1 0 0 1 0 1 1 0 2 1 1 1 1 + 1 = 2 = 1 0 2 1 + 1 + 1 = 3 = 1 1 2
22 101101 2 + 11111 2 10111 2 + 101110 2 111011 2 + 10011 2 111011 2 + 11011 2
23 10 1 0 2 1 – 5 6 7 4 5 4 9 0 Когда берем заём? Чему он равен? ? 2 Заём равен 2 ! ! 1 0 +10 +10 1 0 0 0 1 0 1 2 – 1 1 0 1 1 2 0 2 1 1 0 0 1 0 0 +2 0 1 1 +2
24 101101 2 – 11111 2 11011 2 –110101 2 110101 2 – 11011 2 110011 2 – 10101 2
§ 3. Восьмеричная система счисления 25
26 Основание : 8 Алфавит : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Что неправильно? ? 3 275 8 6986 8 5482 8 319 8
27 8 10 144 8 2 1 0 разряды = 1 · 8 2 + 4 · 8 1 + 4 · 8 0 = 64 + 32 + 4 = 100 Переведите: 12 8 = 57 8 = 64 8 = 77 8 = На что делится? ? 12 0 8 57 00 8
28 10 8 100 8 12 96 4 8 1 8 4 8 0 0 1 100 = 144 8 Переведите: 3 1 = 91= 126 = 172 =
29 111 2 101 2 0 1 1 2 753 8 = 7 8 2 + 5 8 1 + 3 8 0 = 7 2 6 + 5 2 3 + 3 2 0 753 8 = ( 1 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 ) 2 6 + ( 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 ) 2 3 + ( 0 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 ) 2 0 753 8 = 1 2 8 + 1 2 7 + 1 2 6 + 1 2 5 + 0 2 4 + 1 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 = 111 101 011 2 8 = 2 3 Каждая цифра отдельно ! !
30 8 = 2 3 Каждая восьмеричная цифра может быть записана как три двоичных ( триада )! ! 1625 16 = 1 6 2 5 00 1 { { 1 1 0 01 0 101 2 { { 0 1 2 3 4 5 6 7 000 001 010 011 100 101 110 111
31 1001011101111 2 Шаг 1. Разбить на триады, начиная справа: 00 1 001 011 101 111 2 Шаг 2. Каждую триаду записать одной восьмеричной цифрой: 1 3 5 7 Ответ: 1001011101111 2 = 11357 8 00 1 001 011 101 111 2 1
32 Переведите в двоичную систему: 375 8 = 5246 8 = Переведите в восьмеричную систему: 1010011 2 = 10101100 2 =
33 0 1 0 1 1 1 1 0 3 6 136 8 Запишите в сжатой форме: 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 PDP-11, ДВК, СМ ЭВМ, БЭСМ, БК 1
34 сложение 1 5 6 8 + 6 6 2 8 1 1 6 + 2 = 8 = 8 + 0 5 + 6 + 1 = 1 2 = 8 + 4 1 + 6 + 1 = 8 = 8 + 0 1 1 в перенос 1 в перенос 1 0 8 0 4 1 в перенос
35 вычитание 4 5 6 8 – 2 7 7 8 ( 6 + 8 ) – 7 = 7 (5 – 1 + 8 ) – 7 = 5 (4 – 1 ) – 2 = 1 заём 7 8 1 5 заём
36 1 5 6 8 6 6 2 8 – 1 1 5 6 8 6 6 2 8 – 3 5 3 8 + 7 3 6 8 1 3 5 3 8 + 7 7 7 8
§ 4. Шестнадцатеричная система счисления 37
38 Основание : 16 Алфавит : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, 10 B, 11 C, 12 D, 13 E, 14 F 15 Что неправильно? ? 34AF5 16 5BG6 16 9FF61 16 ADH23 16
39 11 1 0 16 444 16 27 432 12 444 = 1BC 16 С 16 1 16 16 0 0 1 B Переведите: 3 1 = 91= 126 = 172 =
40 16 10 1 BC 16 2 1 0 разряды = 1 · 16 2 + 11 · 16 1 + 12 · 16 0 = 256 + 176 + 12 = 444 B C Переведите: 12 16 = 5 A 16 = B9 16 = AB 16 = На что делится? ? 12 0 16 57 00 16
41 16 = 2 4 Каждая шестнадцатеричная цифра может быть записана как четыре двоичных ( тетрада )! ! 7 F1A 16 = 7 F (15) 1 A (10) 0 1 11 { { 1 1 11 0 001 1010 2 { { 0 1 2 3 4 5 6 7 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 8 9 A (10 ) B ( 11 ) C ( 12 ) D ( 13 ) E ( 14 ) F ( 15 ) 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
42 Шаг 1. Разбить на тетрады, начиная справа: 000 1 0010 1110 1111 2 Шаг 2. Каждую тетраду записать одной шестнадцатеричной цифрой: 000 1 0010 1110 1111 2 1 2 E F Ответ: 1001011101111 2 = 12 EF 16 1001011101111 2
43 0 1 0 1 1 1 1 0 5 E 5E 16 Запишите в сжатой форме: 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 Intel, AMD, ARM
44 Закодируйте рисунок и запишите в сжатой форме: 0 0 0 0 1 0 0 0
45 Переведите в двоичную систему: EA1238 16 = Переведите в шестнадцатеричную систему : 11111010011 2 = Переведите в восьмеричную систему : 2 FA 16 = Переведите в шестнадцатеричную систему : 165 8 =
46 сложение A 5 B 16 + C 7 E 16 1 1 6 D 9 16 10 5 11 + 12 7 14 11+14=25= 16 +9 5+7+ 1 = 13 = D 16 10+12=22= 16 +6 1 1 в перенос 1 в перенос 13 9 6 1
47 вычитание С 5 B 16 – A 7 E 16 заём 1 D D 16 1 2 5 11 – 1 0 7 14 ( 11+ 16 ) – 14= 13 = D 16 (5 – 1 )+ 16 – 7= 13 = D 16 ( 12 – 1 ) – 10 = 1 заём 13 1 13
48 1 В А 16 – A 5 9 16 С В А 16 + A 5 9 16
49 Конец фильма ПОЛЯКОВ Константин Юрьевич д.т.н., учитель информатики ГБОУ СОШ № 163, г. Санкт-Петербург kpolyakov@mail.ru ЕРЕМИН Евгений Александрович к.ф.-м.н., доцент кафедры мультимедийной дидактики и ИТО ПГГПУ, г. Пермь eremin@pspu.ac.ru
50 itfoundations.com museum.comp-school.ru иллюстрации художников издательства «Бином» авторские материалы
