Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Теорема. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна ее половине. Треугольники ECD и EBF равны по первому признаку равенства треугольников. Следовательно, BF = CD, значит, BF = AD. Угол 3 равен углу 4, значит, прямые AC и BF параллельны. Таким образом, по признаку параллелограмма, четырехугольник ABFD – параллелограмм. Итак, сторона АВ параллельна и равна стороне DF. Средняя линия DE равна половине DF и, следовательно, половине АВ. Доказательство. Пусть DE – средняя линия треугольника АВС. Докажем, что DE параллельна АВ и равна ее половине. О тложим на прямой DE отрезок EF = DE и соединим отрезком точки B и F.
Проведите средние линии треугольника ABC, изображенного на рисунке. Ответ:
Изобразите треугольник, середины сторон которого отмечены на рисунке. Ответ:
Изобразите треугольник, середины сторон которого отмечены на рисунке. Ответ:
Углы треугольника равны 50 о, 60 о и 70 о. Найдите углы треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника. Ответ: 50 о, 60 о и 70 о.
Стороны треугольника равны 8 см, 10 см и 12 см. Найдите стороны треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника. Ответ: 4 см, 5 см и 6 см.
Стороны треугольника равны 2 см, 3 см и 4 см. Его вершины являются серединами сторон второго треугольника. Найдите периметр второго треугольник а. Ответ: 18 см.
Периметр треугольника равен 12 см, середины сторон соединены отрезками. Найдите периметр получившегося треугольника. Ответ: 6 см.
Периметр равностороннего треугольника равен 72 см. Найдите его среднюю линию. Ответ: 12 см.
Периметр треугольника равен 12 см. Найдите периметр треугольника, отсекаемого от данного какой-нибудь его средней линией. Ответ: 6 см.
Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна 3 см. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 16 см. Ответ: 5 см, 5 см, 6 см.
Через вершины треугольника проведены прямые, параллельные его противоположным сторонам. Найдите периметр треугольника, ограниченного этими прямыми, если периметр исходного треугольника равен 6 см. Ответ. 12 см.
Д иагонали четырехугольника равны а и b. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника. Ответ: a + b.
В прямоугольнике меньшая сторона равна 20 см и образует с диагональю угол в 60 о. Середины сторон прямоугольника последовательно соединены. Найдите периметр полученного четырехугольника. Ответ: 80 см.
Докажите, что середины сторон произвольного четырех - угольника являются вершинами параллелограмма. Решение: Пусть ABCD – четырехугольник, E, F, G, H – середины его сторон. Проведем диагональ AC. EF – средняя линия треугольника ABC и, следовательно, параллельна AC и равна ее половине. Аналогично, HG – средняя линия треугольника ACD и, следовательно, параллельна AC и равна ее половине. Таким образом, стороны EF и HG четырехугольника EFGH равны и параллельны. Значит, этот четырехугольник – параллелограмм.
Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. Решение. Пусть ABCD – прямоугольник, E, F, G, H – середины соответствующих сторон. Проведем диагонали AC и BD. Отрезок EF является средней линией треугольника ABC, следовательно, он равен половине диагонали AC. Аналогично, остальные стороны четырехугольника EFGH равны половинам соответствующих диагоналей. Так как диагонали прямоугольника равны, то равны и стороны этого четырехугольника, т.е. он является ромбом.
Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника. Решение. Пусть ABCD – ромб, E, F, G, H – середины соответствующих сторон. Проведем диагонали AC и BD. Отрезок EF является средней линией треугольника ABC, следовательно, он параллелен диагонали AC. Аналогично, остальные стороны четырехугольника EFGH параллельны соответствующим диагоналям. Так как диагонали ромба перпендикулярны, то перпендикулярны и соседние стороны этого четырехугольника, т.е. он является прямоугольником.
Вершинами какого четырехугольника являются середины сторон квадрата? Ответ. Квадрата.
