Методы решения систем линейных уравнений. Метод подстановки и метод алгебраического сложения
Основными методами решения систем уравнений считают: Метод подстановки Метод алгебраического сложения Графический метод решения систем уравнений Решение систем уравнений по формулам Крамера
Метод подстановки Пример 1. С помощью какого-либо из уравнений выразить одно неизвестное через другое. 2. Подставить найденное выражение в другое уравнение системы: решить получившееся уравнение с одним неизвестным. Из первого уравнения y = 2 x − 4 x + 3(2 x − 4) = 9 ; x + 6 x − 12 = 9 ; 7 x = 21 ; x = 3. Этапы решения
Метод подстановки Пример 3. Подставить найденное значение одного неизвестного в выражение для другого неизвестного. 4. Записать ответ. x = 3, тогда y = 2 x − 4 = 2∙3−4 = 2. Ответ: (3; 2) Этапы решения
Решить систему уравнений способом подстановки Решение. 1) Из второго уравнения x = 35 − 5 y подставим в первое уравнение: 2) 3(35 − 5 y ) + 2 y = 27 ; 105 − 15 y + 2 y = 27 ; − 13 y = 27 − 10 5 ; − 13 y= − 78 ; y = 6. 3 ) y = 6, x = 35 − 5 ∙ 6 = 5. Ответ: (5; 6)
Решить систему способом подстановки Вариант 1 Вариант 2 1) Из первого уравнения 2) 2 x = 10 + 3 y подставим во второе уравнение: 1) Из первого уравнения 2) 3 y = 7 + 5 x подставим во второе уравнение: 10 + 3 y + 5 y = − 6 ; 7 + 5 x + 2 x = 14; 8 y = − 16; y = − 2. 7 x = 7; x = 1. Ответ: ( 1 ; 4) 3 ) y = − 2, 2 x = 10 + 3∙(−2) = = 4; x = 2. 3 ) х = 1, 3 y = 7 +5∙1 = 12; y = 4. Ответ: (2; −2)
Задача 1 Решить систему уравнений Предположим, что x и y − это такие числа, при которых оба равенства этой системы верны, т. е. ( x ; y ) − решение данной системы. Сложим эти равенства. Тогда снова получим верное равенство, так как к равным числам прибавляются равные числа: Метод алгебраического сложения
12 х = 60, откуда х = 5. Подставим х = 5 в одно из уравнений данной системы, например в первое : 7∙5− 2 y = 2 7, 35 − 2 y = 2 7, − 2 y = − 8, y = 4. Итак, если данная система имеет решение, то этим решением может быть только пара чисел: x = 5, y = 4. Ответ: (5; 4)
Решить систему уравнений Вычтем из первого уравнения второе: 5 x + 3∙3 = 29, 5 х +9 = 29, 5 х = 20, х = 4. откуда y = 3. Ответ: (4; 3) Задача 1 Подставим y = 3 в первое уравнение системы:
Рассмотренный способ решения систем уравнений называется способом алгебраического сложения. Для исключения одного из неизвестных нужно выполнить сложение или вычитание левых и правых частей уравнений системы. Способ алгебраического сложения оказывается удобным для решения системы в том случае, когда у обоих линейных уравнений коэффициенты при каком-нибудь неизвестном одинаковы или отличаются только знаком.
Метод алгебраического сложения Этапы решения Пример Сложить почленно уравнения системы, предварительно умножив каждое из них на подходящее число так, чтобы после этого получилось одно уравнение с одним неизвестным. 2. Найти корень этого уравнения, то есть найти значение одного из неизвестных системы. 4 5 51 x = 51 x = 1
Этапы решения Пример Метод алгебраического сложения Подставить найденное значение одного из неизвестных в любое из уравнений системы: в результате снова получится уравнение с одним неизвестным. 4. Решить это уравнение, то есть найти значение второго неизвестного. 5. Записать ответ Подстановка в первое уравнение даёт: 4∙1 + 5 y = 19 5 y = 15, y = 3 Ответ: ( 1; 3)
Решить систему способом сложения Вариант 1 Вариант 2 Ответ: ( 12 ; 4 ) Ответ: ( 12 ; 10 )
