2022 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА БФУ имени И. Канта
2 2022 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Уравнения вида называется обыкновенным дифференциальным уравнением, где – функция своих аргументов, заданная в области D, x – независимая переменная, - искомая функция и ее производные. Порядок старшей производной неизвестной функции, входящей в уравнение, называется порядком этого уравнения. Дифференциальное уравнение будет -го порядка при условии, что обязательно входит в это уравнение. Решением дифференциального уравнения называется функция, определенная в области, которая, будучи подставлена в уравнение вместе со своими производными, обращает его в тождество. График этой функции называется интегральной кривой.
3 2022 Если решение задано в неявном виде, то его обычно называют интегралом дифференциального уравнения. Процесс отыскания решений называется интегрированием дифференциального уравнения. В общем случае нахождения решений уравнения потребуется последовательных интегрирований, поэтому общее решение будет содержать произвольных постоянных, т.е. иметь вид или Соотношение c функцией называется общим интегралом уравнения. Придавая в соотношениях или произвольным постоянным конкретные числовые значения, получим частное решение или частный интеграл.
4 2022 УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, РАЗРЕШЕННАЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка первой степени можно, разрешив относительно производной, представить в виде такое уравнение имеет единственное решение при, а его общее решение, то есть множество решений, содержащие все без исключения решения, зависит от одной произвольной постоянной.
5 2022 Простейший пример такого уравнения где которая содержит произвольную постоянную, определяющиеся через, тогда такой интеграл называется интеграл с переменным верхним пределом интегрирования. В точке интеграл непрерывен, дифференцируем.
6 2022 Дифференциальное уравнение устанавливает зависимость между координатами точки и угловых коэффициентов касательной к графику решения в той же точке. Зная и, можно вычислить. Следовательно, дифференциальное уравнение рассматриваемого вида определяет поле направлений, и задача интегрирование дифференциальных уравнений заключается в том, чтобы найти кривые, называется интегральными кривыми, направление касательных к которым в каждой точке совпадает с направлением поля.
7 2022 Функция вида называется общим решением дифференциального уравнения первого порядка, определенного в области, если она удовлетворяет следующим условиям: 1) при любых значениях функция является решением уравнения первого порядка; 2) для любых начальных условий ; существует такое значение постоянной, что выполняется равенство. Функция, обращающая дифференциальное уравнение первого порядка в тождество, называется общим интегралом этого уравнения.
8 2022 Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка формулируется следующим образом: найти решение дифференциального порядка, удовлетворяющее начальному условию при, т.е. найти интегральную кривую этого уравнения, проходящую через точку с координатами.
9 2022 Точка называется особой точкой дифференциального уравнения первого порядка, если в ней нарушается либо существование, либо единственность решения этого уравнения. Геометрически это означает, что через особую точку или не проходит ни одна интегральная кривая, или же проходит несколько интегральных кривых. Могут быть случаи, когда из общего решения уравнения некоторые решения не получаются ни при каких значениях. Такие решения называются особыми. Признаком особого решения служит нарушение свойства единственности, т.е. если интегральная кривая является особым решением, то через каждую точку этой кривой будет проходить, по крайней мере, еще одна интегральная кривая того же уравнения, имеющая в этой точке ту же касательную.
10 2022 УСЛОВИЕ ЛИПШИЦА Условие Липшица имеет вид где – постоянная, – любые значения из области : Смысл условия Липшица легко понять, если записать его в виде:
11 2022 ТЕОРЕМ А СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ
12 2022 Теорема о существование и единственности решения. Если в уравнении функция непрерывна в прямоугольнике : и удовлетворяет условию в условие Липшица: где – постоянная, то существует единственное решение удовлетворяющее начальному условию определенное и непрерывное для значений в интервале:, где
13 2022 УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ Дифференциальное уравнение вида а также вида называются уравнения с разделяющимися переменными.
14 2022 Метод их решения состоит в нахождении множителя для преобразования в уравнение с разделенными переменными. Тогда уравнения запишутся так: Используя инвариантность формы дифференциала, получаем общие решения:
15 2022 Но при умножении можно потерять решения, поэтому после получения общего решения необходимо проверить, являются ли нули функций решениями заданного уравнения и заключены ли они в общем интеграле при каком-то значении.
2022 Спасибо за внимание! МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА БФУ имени И. Канта
