Основные понятия Дифференциальные уравнения, допускающие понижения порядка 8
Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются ДУ высших порядков. Символически ДУ высших порядков можно записать : Общее решение ДУ n – ого порядка является функцией вида: Начальные условия для ДУ n – ого порядка задаются в виде: Решение, получающееся из общего решения при конкретных значениях произвольных постоянных, называется частным решением: или если его можно разрешить относительно старшей производной. 9
Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является метод понижения порядка. Рассмотрим 3 вида уравнений, допускающих понижение порядка. Общее решение данного уравнения находится с помощью последовательного интегрирования : 10 В результате получается ДУ на порядок ниже. Проинтегрировав уравнение n раз, получим искомую функцию. (1)
11 Найти общее решение ДУ:
- уравнение второго порядка, не содержащее явно искомой функции y, 12 Сделаем замену переменной: (2) тогда и получим уравнение первого порядка: Пусть: - решение данного уравнения. Заменим функцию p на Это уравнение вида (1), поэтому: В общем случае, порядок уравнения: можно понизить на k единиц с помощью подстановки:
13 Найти частное решение ДУ: Сделаем замену: Это уравнение с разделяющимися переменными. Найдем С 1 с помощью начального условия: Найдем С 2 с помощью начального условия:
не содержащее явно независимой переменой x. 14 Сделаем замену переменной: (3) тогда Теперь уравнение (3) запишется в виде: Пусть: - решение данного ДУ - уравнение второго порядка,
15 Найти частное решение ДУ: Сделаем замену: Так как (по начальному условию), получим: - линейное уравнение 1 порядка.
16 Найдем C 1 с помощью начальных условий:
