Функции y = tgx и y = ctgx, их свойства и графики
Определение Тангенс определён для всех углов α, кроме тех, для которых косинус равен нулю Тангенсом угла α называют число, равное отношению sin α к cos α, обозначают tg α, т. е. Для любого угла α ≠ π /2 + π k, k Є Z существует, и притом единственный tg α
x y Ось тангенсов не существует 1 180° - 45° 120° х = 1 Тангенс может принимать любые значения от – ∞ до + ∞ – ∞ + ∞
Определение Котангенс определён для всех углов α, кроме тех, для которых синус равен нулю Котангенсом угла α называют число, равное отношению cos α к sin α, обозначают с tg α, т. е. Для любого угла α ≠ π k, k Є Z существует, и притом единственный с tg α
X Y Ось котангенсов Не существует у = 1 120° 180° 0° Котангенс может принимать любые значения от – ∞ до + ∞ – ∞ + ∞ 45°
х у= tg x 0 ± π ∕ 6 ± π ∕ 4 ± π ∕ 3 ± π ∕ 2 y x 1 - 1 у = tg x 0 ≈ ± 0,6 ± 1 ≈ ±1,7 Не существ. Построение графика функции y = tg x, если х Є [ ̶ π ∕ 2; π ∕ 2 ]
y x 1 - 1 у= tg x
y x 1 - 1 у= tg x Нули функции: tg х = 0 при х = π n, n є Z у > 0 при хє (0; π /2) и при сдвиге на π n, n є Z. у < 0 при хє (- π /2; 0) и при сдвиге на π n, n є Z.
y x 1 - 1 Свойства функции y=tg x. у= tg x При х = π ∕ 2+ π n, n є Z - функция у= tg x не определена. Точки х = π ∕ 2+ π n, n є Z – точки разрыва функции. Асимптоты
1. Область определения: 2. Множество значений функции: 3. Периодическая, Т= 4. Нечётная функция 5. Возрастает на всей области определения. 6. Нули функции у = 0 при х = 7. у > 0 при хє и при сдвиге на 8. у < 0 при хє и при сдвиге на 9. При х = - функция у = tgx не определена. Имеет точки разрыва графика
у х 0 2 2 2 2 3 3 - - - - 1 -1 y = tgx y = tgx + a y = tgx – b
у х 0 2 2 2 2 3 3 - - - - 1 -1 y = tgx y = tg(x – a)
у х 0 2 2 2 2 3 3 - - - - 1 -1 y = tgx y = ItgxI
Функция y = ctg x Область определения данной функции – все действительные числа, кроме чисел х= π k, k Z. Область значений функции – все действительные числа. Функция убывает на интервалах Функция нечетная, график ее симметричен относительно начала координат. Функция периодическая, ее наименьший положительный период равен π. - -1 1 у х π 0 - π - у= c tg x
Найти все корни уравнения tgx = 1, принадлежащих промежутку – π ≤ х ≤ 3 π ∕ 2. Решение. y x 1 - 1 у= tg x у = 1 Построим графики функций у= tg x и у=1 х 1 = − 3 π⁄ 4 х 2 = π⁄ 4 х 3 = 5 π⁄ 4 х 2 х 1 х 3 − π 3 π / 2 0 π
Задача № 2. Найти все решения неравенства tgx < − 1, принадлежащие промежутку – π ≤ х ≤ 2 π. Построим графики функций у = tg x и у = −1 y x 1 - 1 у= tg x у = − 1 ( ) 0 х ϵ (− π /2 ; − π⁄ 4 ); − π / 4 3 π / 4 7 π / 4 ////// ////// //////// х ϵ ( π /2 ; 3 π⁄ 4 ); х ϵ ( 3 π /2 ; 7 π⁄ 4 )
