Цель темы: матрицы и действия над матрицами: определители.
Таблица чисел вида, состоящая из m столбцов и n строк, называется матрицей размера m на n. Диагональ матрицы
При m=0, матрица строка. При n= 0, матрица столбец. При m=n, квадратная матрица, причем число строк и столбцов называют порядком квадратной матрицы. Матрица второго порядка Матрица третьего порядка
Две матрицы А и В называют равными А=В, если они одинакового размера (то есть имеют одинаковое число строк и столбцов) и их соответствующие элементы равны.
Матрицы одинакового размера можно сложить. Суммой двух матриц А и В будет матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. ПРИМЕР
Сложение матриц подчиняется переместительному и сочетательному закону. Матрица все элементы которой равны нулю называется нуль матрицей
Разностью двух матриц А и В одинакового размера называется матрица С, такая что А В С
Произведением матрицы А на число L называется матрица, элементы которой равны произведению числа L на соответствующие элементы матрицы А.
Элемент матрицы произведения, находящийся на пересечении i- строки и k- столбца, представляет собой сумму парных произведений элементов i- строки первой матрицы на элементы k- столбца второй матрицы. Это правило сохраняется при умножении квадратных матриц и прямоугольных, у которых число столбцов матрицы множимого равно числу строк матрицы множителя
ПРИМЕР 1 ПРИМЕР 2 ?????РЕШИТЬ 2 1 ????? РЕШИТЬ
ПРИМЕР 1 ПРИМЕР 2 2 1
ВЫВОДЫ: В результате перемножения двух матриц получается матрица, содержащая столько строк сколько их имеет матрица множимое, и столько столбцов сколько их имеет матрица множитель.
??
ВЫВОД Произведение двух матриц не подчиняется переместительному закону Произведение матриц подчиняется сочетательному закону
Известно, что произведение двух отличных от нуля чисел не равно нулю. Для матриц подобное обстоятельство может не выполняться. ПРОВЕРИТЬ!!!!
Матрица вида Е – называется единичной матрицей. При умножении любой квадратной матрицы А второго порядка на единичную матрицу получаем матрицу А. Аналогично ЕА=А
Если в матрице А, сделать все строки столбцами с тем же номером, то получим матрицу, которую называют транспонированной к матрице А. А=
Диагональная матрица — квадратная матрица, все элементы которой кроме диагональных — нулевые.
Определителем второго порядка, соответствующим матрице А, называется число, равное а11а22-а12а21. ЭЛЕМЕНТЫ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ Главная диагональ Побочная диагональ
Величина определителя не меняется, если его строки заменить соответствующими столбцами Меняется знак, если поменять местами его строки или столбцы. Увеличивается в k раз, если элементы какого-либо столбца или строки увеличить в k раз, то есть общий множитель имеющийся в строке или столбце, можно выносить за знак определителя. Равна нулю, если элементы какого-либо его столбца или строки равны нулю. Равна нулю, если элементы двух строк или столбцов соответственно равны.
Определителем третьего порядка, соответствующим матрице А, называется число равное а11а22а33+а12а23а31+а13а21а32-а13а22а31-а11а23а32-а12а21а23
Все свойства определителя второго порядка остаются справедливыми для определителей третьего порядка Единичная матрица третьего порядка
Минором какого-либо элемента определителя называется определитель, полученный из данного вычеркиванием той строки и столбца, которым принадлежит данный элемент. Например минором а12 является = M 12
Называется его минор взятый со знаком минус Порядок в строке Порядок в столбце Если сумма I и k четно, то А имеет знак минус. Если сумма I и k нечетно, то А имеет знак плюс.
Определитель равен сумме произведений элементов какой либо строки или столбца на их алгебраические дополнения. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО : Данная формула называется разложением определителя по элементам первой строки дополнение
Вычислить определитель четвертого порядка 3 0 2 0 2 3 -1 4 0 4 -2 3 5 2 0 1 = ? -54
Если А и В – квадратные матрицы одного порядка с определителями ! А! и !В!, то определитель матрицы С = АВ равен произведению определителей умножаемых матриц.
Только для квадратных матриц, имеющих не нулевой определитель. Если А – квадратная матрица, то обратной для нее матрицей называется матрица, удовлетворяющая условию Дополнения элемента а11 Чтобы построить обратную матрицу, необходимо Сначала каждый элемент заменить его алгебраическим дополнением, деленным на определитель, а затем. построить транспонированную матрицу.
Вычислить обратную матрицу для матрицы А
Определитель Дополнения
