Преподаватель: Мокляк Денис Сергеевич
МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Матрицей размера m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.
Обозначение: где i=1,2…m j=1,2…n - матрица размерности m x n - элемент матрицы i –ой строки и j -го столбца,
матрица размерности m x n
Две матрицы называются равными, если у них одинаковая размерность и совпадают строки и столбцы. Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, то такая матрица называется квадратной.
Пример: - квадратная матрица размерности 3х3
Элементы матрицы a ij, у которых номер столбца совпадает с номером строки, называются диагональными. Если в квадратной матрице все диагональные элементы равны 1, а остальные элементы равны 0, то она называется единичной.
единичная матрица
Матрица любого размера называется нулевой, если все ее элементы равны 0. нулевая матрица
Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой или вектором-строкой. матрица-строка
Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом или вектором-столбцом. матрица-столбец
Распределение ресурсов по отраслям экономики: Ресурсы Промышленность с / хозяйство Эл. энергия 8 7.2 Труд. ресурсы 5 3 Водные ресурсы 4.5 5.5 С помощью матриц удобно описывать различного рода зависимости. Например:
Эту зависимость можно представить в виде матрицы: Где элемент a ij показывает сколько i – го ресурса потребляет j – отрасль. Например, a 32 показывает, сколько воды потребляет сельское хозяйство.
ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ 1. Умножение матрицы на число Чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент матрицы умножить на это число. Полученные произведения образуют итоговую матрицу.
Пусть дана матрица Умножаем ее на число λ : Где каждый элемент матрицы В : Где:
Например: Умножая матрицу на число 2, получим:
2. Сложение матриц Складываются матрицы одинаковой размерности. Получается матрица той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов исходных матриц.
Пусть даны матрицы Складываем их: Где каждый элемент матрицы С : Аналогично проводится вычитание матриц.
Пример. Найти сумму и разность матриц:
Решение:
3. Умножение матриц Умножение матриц возможно, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда каждый элемент полученной матрицы равен сумме произведений элементов i – ой строки первой матрицы на соответствующие элементы j -го столбца второй.
Пусть даны матрицы Умножаем их: Где каждый элемент матрицы С :
Пример. Найти произведение матриц:
Число столбцов первой матрицы равно числу строк второй, следовательно их произведение существует: Решение:
Теперь перемножим матрицы в обратном порядке: Умножение матриц в общем случае некоммутативно:
Перечисленные операции над матрицами обладают следующими свойствами: А+В=В+А (А+В)+С=А+(В+С) 1 2
λ (А+В)= λ А+ λ В А(В+С)=АВ+АС А(ВС)=(АВ)С 3 4 5
4. Транспонирование матриц Матрица А Т называется транспонированной к матрице А, если в ней поменяли местами строки и столбцы.
(А Т)Т =А (А+В) Т =А Т +В Т свойства операции траспонирования: 1 2
( λ А) Т = λ А Т (АВ) Т= В Т А Т 3 4
Пример. Транспонировать матрицу:
Решение:
Определителем (детерминантом) матрицы n -го порядка называется число:
Правило Сарруса:
Правило треугольника: « + » « - »
Примеры:
Примеры:
Примеры:
1. Определитель не изменится, если его транспонировать:
2. При перестановке двух строк или столбцов определитель изменит свой знак на противоположный.
3. Общий множитель всех элементов строки или столбца можно вынести за знак определителя.
4. Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен нулю.
5. Если все элементы двух строк (или столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
6. Если каждый элемент какого-либо ряда определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых соответствующий ряд состоит из первых слагаемых, а во втором- из вторых слагаемых.
7. Если к какой-либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится. × к
× 2 +
8. Треугольный определитель равен произведению элементов главной диагонали.
× (-2) × (-5) = +
Минором M ij элемента a ij det D называется такой новый определитель, который получается из данного вычеркиванием i -ой строки и j -го столбца содержащих данный элемент.
Алгебраическим дополнением A ij элемента a ij det D называется минор M ij этого элемента, взятый со знаком т.е.
Сумма произведений элементов любой строки (или столбца) определителя на их алгебраические дополнения равна этому определителю.
разложение по i -ой строке: разложение по j -му столбцу:
1. разложение определителя по элементам строки или столбца; 2. метод эффективного понижения порядка; 3. приведение определителя к треугольному виду.
Метод эффективного понижения порядка: Вычисление определителя n -го порядка сводится к вычислению одного определителя ( n-1 )-го порядка, сделав в каком-либо ряду все элементы, кроме одного, равными нулю.
× (-3) × (-1)
× (-3) × (-1)
× 2 +
× (-2)
Обратная матрица обозначается символом Примечание. Операция деления для матриц не определена. Вместо этого предусмотрена операция обращения (нахождения обратной) матрицы.
1. Находим определитель матрицы А. Он должен быть отличен от нуля. 2. Находим алгебраические дополнения для каждого элемента матрицы А. 3. Составляем союзную матрицу и транспонируем ее. 4. Подставляем результаты п.1 и п.4 в формулу обратной матрицы.
Р е ш е н и е. Действуем по алгоритму: 1. Находим определитель матрицы: Определитель отличен от нуля, следовательно, обратная матрица существует.
2. Находим алгебраические дополнения:
3. Составляем союзную матрицу:
4. Записываем обратную матрицу по формуле
Воспользуемся определением обратной матрицы и найдем произведение
перестановка строк (столбцов) местами; исключение из матрицы строк (столбцов), состоящих из нулей; умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на любое число, отличное от нуля; прибавление к одной строке (столбцу) другой, предварительно умноженной на любое число, отличное от нуля.
Определение. Э к в и в а л е н т н ы м и называются матрицы, полученные одна из другой путем элементарных преобразований. Важным понятием для матриц является понятие РАНГА. Существует несколько определений этого понятия. Мы остановимся на одном из них, основанном на элементарных преобразованиях. Определение. Р а н г о м м а т р и ц ы называется число ненулевых строк в матрице, после приведения ее к ступенчатому виду (путем элементарных преобразований). Обозначение. Ранг матрицы будем обозначать или. Теорема. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях.
