ТЕМА: ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ. Учитель математики Курманова Асель Бигалымовна
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются и лежат в одной плоскости. Значит, через две параллельные прямые можно провести плоскость и только одну. a b a ΙΙ b
Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и только одну. Дано: a, M не принадлежит a Доказать: 1. через прямую a можно провести прямую b ΙΙ a. 2. прямая b -единственная a V M b
Дано: a ΙΙ b, a ∩ α Доказать: b∩ α a b α β M N
Если одна из параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая пересекает эту плоскость. ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.
1. Определение 2. Признак 3. Свойство 1. a b Две прямые называются скрещивающимися, если они не пересекаются и лежат в разных плоскостях.
Если b є α, a ∩ α = M, M є b, то прямые a и b скрещиваются. a b α M
Если одна прямая лежит в плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то прямые скрещиваются. C A B D Найти скрещивающиеся прямые
Через каждую из скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой.
Дано: прямые а и b скрещиваются, М є а, N є b, плоскость α проведена через а и точку N, плоскость β проведена через b и точку M. Лежит ли прямая b в плоскости α ? Пересекаются ли плоскости α и β ? α β a b N M
A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 Найти: 3 пары параллельных прямых, 3 пары скрещивающихся прямых, 3 пары пересекающихся прямых. Пересекаются ли прямые B 1 D и BC ? B 1 D A 1 C 1 ?
1. Прямая и плоскость имеют одну общую точку.
2. Прямая и плоскость имеют две общие точки.
3. Прямая и плоскость не имеют общих точек.
1. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то прямая пересекает эту плоскость. 2. Если прямая и плоскость имеют две общие точки, то все точки этой прямой лежат в плоскости, то есть прямая лежит в плоскости. 3. Если прямая и плоскость не имеют общих точек, то прямая параллельна плоскости. Какая же прямая называется параллельной плоскости?
Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-нибудь прямой плоскости, то она параллельна этой плоскости. Дано: прямая a ll b, a є α, b є α. Доказать: a ll α a b α
E и F – середины AD и CD P и K середины AB и BC Доказать: EF ll (ABC) PK (ADC). A B C D E F K P
Если прямая, лежащая в одной из пересекающихся плоскостей, параллельна другой плоскости, то она параллельна их линии пересечения.
Если одна из параллельных прямых параллельна данной плоскости, то вторая прямая либо лежит в этой плоскости, либо также параллельна данной плоскости.
1. Угол между пересекающимися прямыми. 2. Угол между скрещивающимися прямыми.
a b O 1 2 3 4 a ∩ b = O ( a;b ) = 2 = 4 Углом между пересекающимися прямыми называется угол наименьшей градусной меры.
Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным скрещивающимся. a b b 1 a 1 (a,b) = ( a 1,b 1 )
1. Определение. 2. Признак. 3. Свойства. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек. ПРИЗНАК Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны соответственно двум прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.
a b α b 1 a 1 β Дано: плоскости α и β, a ∩ b, a 1 ∩b 1, a и b лежат в α, a 1 и b 1 лежат в β. Доказать: α II β
1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения плоскостей параллельны. Дано: α II β, γ ∩ α = a, γ ∩ β = b. Доказать: α II β α β γ a b
2. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны. Дано: α II β, a II b. Доказать: AD = BC α β a b А B C D
3. Если прямая пересекает одну из параллельных плоскостей, то она пересекает и другую. 4. Если плоскость пересекает одну из параллельных плоскостей, то она пересекает и вторую плоскость. 5. В пространстве через точку, не лежащую на данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, притом только одну.
1 вариант 2 вариант KMNF - трапеция KBDF - параллелограмм Доказать: AB ll CD BD ll CA ME скрещивается с CD DE скрещивается с CA Пересекаются ли прямые ME и AB ? BA и C Е? A B D C M N E K F C E D B A K F
1. А В С D M ABCD – прямоугольник. Найти угол между прямыми: MB и AD, AM и CD, AM и BC.
2. А В С M D Найти угол между прямыми AB и CD.
3. A B C D M ABCD – ромб. Найти угол между прямыми MD и AC.
4. Точка D лежит вне плоскости АВС. Найти угол между прямыми AC и BD. B A D C
5. D A B C M ABCD – квадрат. Найти угол между прямыми CM и BD.
Доказать параллельность плоскостей ABC и A 1 B 1 C 1 A B C A 1 B 1 C 1 AA 1 II BB 1 II CC 1 AA 1 = BB 1 = CC 1 A B C A 1 B 1 C 1 AA 1 C 1 C и C С 1 B 1 B - параллелограммы
a b O α β A B A 1 B 1 Дано: АО = 5, ОВ = 4, ОА 1 = 3, А 1 В 1 = 6. Найти: АВ и ОВ 1
a α β О b c C 1 B 1 A 1 A 2 B 2 C 2 Доказать: треугольники А 1 В 1 С 1 и А 2 В 2 С 2 подобны
Дать определение параллельных плоскостей. 2. Сформулировать признак параллельности плоскостей (чертеж и условие). 3. Сформулировать свойство о линиях пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью ( чертеж и условие). 4. Доказать свойство параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями (формулировка, чертеж, условие).
