Функция: 1. Для фиксированного значения x аргумента функции находим исходное значение функции y = f ( x ) = x 2. 2. Аргументу x даем приращение x и находим новое значение функции f ( x + x) = ( x + x) 2. 3. Вычисляем приращение функции : y = f ( x + x) – f ( x ) = x 2 + 2x x + x 2 – x 2. 4. Находим предел отношения:
Производная суммы двух дифференцируемых функций равна сумме производных: Доказательство.
Производная произведения двух дифференцируемых функций находится по формуле: Доказательство.
Производная частного двух дифференцируемых функций находится по формуле: Доказательство. Самостоятельно.
Если y есть дифференцируемая функция от u, а u есть дифференцируемая функция от x, то производная сложной функции существует и равна производной внешней функции, умноженной на производную внутренней функции: Доказательство.
Производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции: Здесь y = f ( x ) и x = g ( y ) – две взаимно-обратные дифференцируемые функции, y ' x 0. Доказательство.
Если F (x, y) = 0, не разрешенное относительно y, определяет y как однозначную функцию x, то y называют неявной функцией ( implicit function ) от x. Чтобы найти производную y ' этой неявной функции, нужно уравнение продифференцировать по x, считая y как функцию от x. Из полученного уравнения выразить y '. Пример. Ответ.
Функция f ' (x) есть производная первого порядка функции f (x). Ее производная есть производная второго порядка: ( f ' (x) ) ' = f '' (x) Производная n –го порядка обозначается f (n) (x) и находится как производная от функции f (n -1 ) (x).
22 ноября 2020 г. 5-3. Производные элементарных функций Производные логарифмической функции Производная показательной функции Производная степенной функции Производные тригонометрических функций Таблица производных
Функция: Производная: Доказательство. 1. Для фиксированного значения x аргумента функции находим исходное значение функции: 2. Аргументу x даем приращение x и находим новое значение функции:
3. Вычисляем приращение функции : 4. Находим предел отношения:
Функция: Производная: Доказательство: самостоятельно
Функция: Производная: Доказательство. Обратная функция: Находим, как производную обратной функции:
Функция: Производная: Доказательство. Самостоятельно.
Функция: Производная: Доказательство. Логарифмируем обе части равенства Дифференцируем:
Функция: Производная: Доказательство.
Функция: Производная: Функция: Производная: Доказательство. Самостоятельно.
Функция Производная И так далее…
