Определение производной Геометрический смысл производной Связь между непрерывностью и дифференцируемостью Производные основных элементарных функций Правила дифференцирования Производная сложной функции Производная неявно заданной функции Логарифмическое дифференцирование
Пусть функция y = f(x) определена в некотором интервале ( a; b). Аргументу x придадим некоторое приращение : y 0 х х f(x ) x + Δ x f(x+ Δ x ) Найдем соответствующее приращение функции: Если существует предел то его называют производной функции y = f(x) и обозначают одним из символов:
Итак, по определению: Функция y = f(x), имеющая производную в каждой точке интервала ( a; b), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием. Значение производно функции y = f(x) в точке x 0 обозначается одним из символов: Если функция y = f(x) описывает какой – либо физический процесс, то f ’(x) есть скорость протекания этого процесса – физический смысл производной.
Возьмем на непрерывной кривой L две точки М и М 1 : y 0 х х f(x ) x + Δ x М М 1 f(x+ Δ x ) Через точки М и М 1 проведем секущую и обозначим через φ угол наклона секущей. φ При в силу непрерывности функции также стремится к нулю, поэтому точка М 1 неограниченно приближается по кривой к точке М, а секущая ММ 1 переходит в касательную. y 0 х х f(x ) α М
Производная f ’(x) равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в точке, абсцисса которой равна x. Если точка касания М имеет координаты ( x 0 ; y 0 ), угловой коэффициент касательной есть k = f ’(x 0 ). Уравнение прямой с угловым коэффициентом: Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой. Уравнение касательной Уравнение нормали
Если функция f(x) дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней. Теорема Пусть функция y = f(x) дифференцируема в некоторой точке х, следовательно существует предел: Доказательство: где при По теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции Функция y = f(x) – непрерывна. Обратное утверждение не верно: непрерывная функция может не иметь производной.
Пусть u(x), v(x) и w(x) – дифференцируемые в некотором интервале ( a; b) функции, С – постоянная.
Пусть y = f(u) и u = φ (x), тогда y = f( φ (x)) – сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом x. Теорема Если функция u = φ (x) имеет производную в точке x а функция y = f(u) имеет производную в соответствующей точке u, то сложная функция имеет производную, которая находится по формуле: Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько:
Вычислить производную функции
Вычислить производную функции Данную функцию можно представить следующим образом: Коротко:
Если функция задана уравнением y = f( х ), разрешенным относительно y, то говорят, что функция задана в явном виде. Для нахождения производной неявно заданной функции необходимо продифференцировать уравнение по х, рассматривая при этом y как функцию от х, и полученное выражение разрешить относительно производной. Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения не разрешенного относительно y :
В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать, а затем результат продифференцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.
Функция называется степенно – показательной. Пусть u = u(x) и v = v (x) – дифференцируемые функции. Производная такой функции находится только с помощью логарифмического дифференцирования.
Производные высших порядков Производные от функций, заданных параметрически Дифференциал функции Геометрический смысл дифференциала Применение дифференциала в приближенных вычислениях Правило Лопиталя
Итак: Производной n – ого порядка (или n – ой производной) называется производная от производной n -1 - ого порядка. Производная функции есть также функция от x и называется производной первого порядка. Если функция дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается: Производная от производной второго порядка, если она существует называется производной третьего порядка и обозначается: Итак:
- производная пятого порядка. Начиная от производной 4 порядка, производные обозначаются римскими цифрами или цифрами в скобках: Вычислить производную n – ого порядка от функции:
Производная первого порядка от этой функции находится по формуле: Пусть функция y = f(x) задана параметрически уравнениями: Найдем производную второго порядка: Аналогично получаем: и т. д.
Вычислить производную 3 – ого порядка от функции:
Пусть функция y = f(x) имеет в некоторой точке х отличную от нуля производную, следовательно существует предел: где при По теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции Таким образом, приращение функции представляет собой сумму двух слагаемых: и, являющимися бесконечно малыми при. При этом первое слагаемое есть бесконечно – малая одного порядка с, так как:
Второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка по сравнению с, так как: Поэтому первое слагаемое называют главной частью приращения функции. Дифференциалом функции y = f(x) в точке х называется главная часть ее приращения: Найдем дифференциал независимой переменной, то есть функции : Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной Поэтому: Дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал независимой переменной
Проведем к графику функции y = f(x) в точке М( x, y) касательную y 0 х х f(x ) x + Δ x М М 1 f(x+ Δ x ) Рассмотрим ординату касательной для точки x + Δ x. α Согласно геометрическому смыслу производной, B A Из прямоугольного треугольника A ВМ имеем: Дифференциал функции y = f(x) в точке x равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда x получает приращение Δ x.
Как известно, приращение функции можно представить в виде: dy Отбрасывая бесконечно малую более высокого порядка, чем, получим приближенной равенство: Это равенство позволяет с большой точностью вычислять приращение любой дифференцируемой функции. Подставим в равенство выражения для приращения и дифференциала функции: Формула позволяет приближенно вычислять значение функции в точке x 0 + Δ x, зная значение функции в точке x 0. 0 0 0
Вычислить приближенно: Рассмотрим функцию: Так как то
