Приложения математического аппарата СПИНОВОЙ МОМЕНТ (или просто СПИН ) — наблюдаемая векторного типа: для задания которой необходимо указать: длину (модуль) вектора спина | S |, направление (ориентацию) вектора спина в пространстве (проекции вектора на декартовы координатные оси S x, S y и S z ) S
ВЕКТОР (импульс, Р ) ПСЕВДОВЕКТОР (момент импульса, L и спин, S ) ОТРАЖЕНИЕ В ЗЕРКАЛЕ ОТРАЖЕНИЕ В ЗЕРКАЛЕ
Экспериментальное обнаружение спина – r m — масса q — заряд L — механический момент или момент импульса ( L = m ⋅ v × r ) μ — магнитный момент ( γ — магнитно-механическое отношение ) ( 1/ γ — гиромагнитное отношение ) μ = γ ⋅ L L = (1 /γ ) ⋅ μ
ВНЕШНИЕ («орбитальные») моменты L и μ ВНУТРЕННИЕ («собственные») моменты L и μ
Микрочастица обладает электрическим зарядом и «собственным» магнитным моментом, который обнаруживается по влиянию на него внешнего магнитного поля Поскольку микрочастица обладает не только зарядом, но и массой, то с ее магнитым моментом должен быть связан «собственный» механический момент — СПИН – S μ γ e = – e / m e c электрон + S μ γ p = + e / m p c протон
сила сила Δ Е В Δ E = – μ • B = – | μ | ⋅ | B | ⋅cos α = – μ B ⋅ | B | Взаимодействие магнитных моментов с неоднородным магнитным полем В зависимости от направления вектора магнитного момента (и спина) частица выталкивается в область слабого или сильного внешнего поля
X Z grad B
Δ Z Z X Δ Z Δ Z = —– ⋅ μ z ⋅ —– ⋅ —– 1 dB L 2 2m dZ v 2 ( L — длина прибора, v — скорость движения частицы )
ВЫВОД: Прибор Штерна-Герлаха является спектральным анализатором, предназначенным для измерения двух наблюдаемых: S z — проекция вектора спина на ось z | S | — модуль вектора спина Эти два числа полностью характеризуют наблюдаемую, называемую СПИНОМ (или спиновым моментом ) Z 0 +|S| –|S|
Р S z Реальная ФР Наблюдаемая S z имеет дискретный спектр Число пиков — МУЛЬТИПЛЕТНОСТЬ ( N = 1, 2, 3, …) Р S z + |S z | – |S z | Ожидаемая ФР
Физические результаты эксперимента: 1) ВЕЛИЧИНА (модуль) вектора спина строго определена природой частицы и всегда имеет только одно значение, т.е. | S | = const, 2) ОРИЕНТАЦИЯ вектора спина относительно оси Z может осуществляться только несколькими различными («разрешенными») способами, т.е. S z = S z 1, S z 2,..., S zn число которых N (мультиплетность) зависит только от природы частицы, 3) ВЕРОЯТНОСТИ различных ориентаций вектора спина P 1, P 2,..., P n зависят от конкретных условий приготовления объекта со спином.
Вспомогательные величины : (для удобства описания) спиновое квантовое число s N = 2 s + 1 магнитное спиновое квантовое число m s m s = – s, – s + 1, – s + 2,..., s – 2, s – 1, s N | S | 2 = 2 ⋅ s ( s + 1) | S | = s ( s + 1) S Z = ⋅ m s
Электрон, протон, нейтрон N = 2 s = ( N – 1)/2 = 1/2 m S = { –1/2; +1/2 } | S | = 3 /2 S Z = { –/2; +/2 } Дейтрон (ядро дейтерия) N = 3 s = ( N – 1)/2 = 1 m S = { –1; 0; +1/2 } | S | = 2 S Z = { –; 0; + }
Мультиплетность ( N ) — целое число Два класса спиновых квантовых чисел ( s ) ЦЕЛЫЕ (при нечетных N = 1, 3, 5, …) ПОЛУЦЕЛЫЕ (при четных N = 2, 4, 6, …) Два класса микроскопических объектов БОЗОНЫ — частицы с целым спином ( s = 0, 1, 2,... ) ФЕРМИОНЫ — частицы с полуцелым спином ( s = 1/2, 3/2,... )
N Z N o N + N – m S = +1 ( S Z = + ) m S = 0 ( S Z = 0 ) m S = –1 ( S Z = – ) Частица со спином 1 ( s = 1 ) Вероятности Р + + Р o + Р – = 1 ( N + / N ) → Р + ( N o / N ) → Р o ( N – / N ) → Р – Z
| Φ 〉 Z | +Z 〉 ( S Z = + ) | оZ 〉 ( S Z = 0 ) | –Z 〉 ( S Z = – ) | Φ 〉 = | +Z 〉 ⋅ Z + + | оZ 〉 ⋅ Z о + | –Z 〉 ⋅ Z – = = | +Z 〉 ⋅ 〈 +Z | Φ 〉 + | оZ 〉 ⋅ 〈 оZ | Φ 〉 + | –Z 〉 ⋅ 〈 –Z | Φ 〉 базисные состояния амплитуды | Z + | 2 = Р + | Z о | 2 = Р о | Z – | 2 = Р –
Z Z Z N + 0 0 N o 0 0 N – 0 0 N Z N – N o N + 〈 +Z | +Z 〉 = 1 〈 oZ | +Z 〉 = 0 〈 –Z | +Z 〉 = 0 〈 +Z | oZ 〉 = 0 〈 oZ | oZ 〉 = 1 〈 –Z | oZ 〉 = 0 〈 +Z | –Z 〉 = 0 〈 oZ | –Z 〉 = 0 〈 –Z | –Z 〉 = 1 Прибор ШГ на свои собственные состояния не действует Повторные измерения
1 0 0 0 1 0 0 0 1 〈 +Z | +Z 〉 〈 oZ | +Z 〉 〈 –Z | +Z 〉 〈 +Z | оZ 〉 〈 oZ | оZ 〉 〈 –Z | оZ 〉 〈 +Z | –Z 〉 〈 oZ | –Z 〉 〈 –Z | –Z 〉 = = δ ij δ ij = — символ Кронекера 1 при i = j 0 при i ≠ j Векторы базисных состояний любого спектрального анализатора взаимно ортогональны Собственные векторы любого оператора КМ-наблюдаемой взаимно ортогональны (образуют ортонормированный базис)
Переход к другому базису | Φ 〉 Y | +Y 〉 ( S Y = + ) | oY 〉 ( S Y = 0 ) | –Y 〉 ( S Y = – ) Y | Φ 〉 = | +Y 〉 ⋅ Y + + | оY 〉 ⋅ Y о + | –Y 〉 ⋅ Y – = = | +Y 〉 ⋅ 〈 +Y | Φ 〉 + | оY 〉 ⋅ 〈 оY | Φ 〉 + | –Y 〉 ⋅ 〈 –Y | Φ 〉 базисные состояния амплитуды
Y-представление | Φ 〉 = | +Y 〉 ⋅ Y + + | оY 〉 ⋅ Y о + | –Y 〉 ⋅ Y – = ( Y +, Y o, Y – ) Z-представление | Φ 〉 = | +Z 〉 ⋅ Z + + | оZ 〉 ⋅ Z о + | –Z 〉 ⋅ Z – = ( Z +, Z o, Z – ) | Φ 〉 Z | Φ 〉 Y U Z←Y U Y←Z унитарные операторы перехода от одного представления (базиса) к другому U Z←Y U Y←Z
U Y ←Z | Φ 〉 Z = | Φ 〉 Y 〈 +Y | +Z 〉 〈 +Y | оZ 〉 〈 +Y | –Z 〉 〈 +Z | Φ 〉 〈 +Y | Φ 〉 〈 оY | +Z 〉 〈 оY | оZ 〉 〈 оY | –Z 〉 〈 oZ | Φ 〉 = 〈 oY | Φ 〉 〈 –Y | +Z 〉 〈 –Y | оZ 〉 〈 –Y | –Z 〉 〈 –Z | Φ 〉 〈 –Y | Φ 〉 U Z←Y | Φ 〉 Y = | Φ 〉 Z 〈 + Z | +Y 〉 〈 +Z | о Y 〉 〈 +Z | –Y 〉 〈 +Y | Φ 〉 〈 +Z | Φ 〉 〈 о Z | + Y 〉 〈 о Z | о Y 〉 〈 о Z | – Y 〉 〈 oY | Φ 〉 = 〈 oZ | Φ 〉 〈 – Z | + Y 〉 〈 – Z | о Y 〉 〈 – Z | – Y 〉 〈 –Y | Φ 〉 〈 –Z | Φ 〉 U Y ←Z = ( U Z←Y ) –1 = ( U Z←Y ) +
Последовательные измерения Вектор момента L можно охарактеризовать: а) проекциями на декартовы оси: L = L X • i + L Y • j + L Z • k = ( L X, L Y, L Z ), б) модулем (длиной): | L | 2 = ( L X ) 2 + ( L Y ) 2 + ( L Z ) 2 L В классической (МАКРО-) механике все 4 числа (модуль и три проекции) можно определить независимо и проверить экспериментально
В квантовой (МИКРО-) механике любые измерения требуется производить ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО, что обусловлено конструкцией спектральных анализаторов (например, прибора Штерна-Герлаха) Поставим два вопроса : Чему равна величина проекции S Z ? Чему равна величина проекции S Y ? Для нахождения ответа нужно провести ДВЕ процедуры измерения с помощью ДВУХ приборов Штерна-Герлаха, ориентированных по осям Z и Y, соответственно. (источник частиц — один и тот же)
| Φ 〉 Z | +Z 〉 ( S Z = + ) | оZ 〉 ( S Z = 0 ) | –Z 〉 ( S Z = – ) | Φ 〉 = | +Z 〉 ⋅ Z + + | оZ 〉 ⋅ Z о + | –Z 〉 ⋅ Z – = ( Z +, Z o, Z – ) | Z + | 2 = Р + ; | Z о | 2 = Р о ; | Z – | 2 = Р – S Z P Z + – 0 S Z = + , 0, – Р +, Р о, Р – Функция распределения P Z
| Φ 〉 Y | +Y 〉 ( S Y = + ) | оY 〉 ( S Y = 0 ) | –Y 〉 ( S Y = – ) | Φ 〉 = | +Y 〉 ⋅ Y + + | оY 〉 ⋅ Y о + | –Y 〉 ⋅ Y – = ( Y +, Y o, Y – ) | Y + | 2 = Р + ; | Y о | 2 = Р о ; | Y – | 2 = Р – S Y P Y + – 0 S Y = + , 0, – Р +, Р о, Р – Функция распределения P Y
| +Z 〉 Z | +Z 〉 ( S Z = + ) P + = 1 | оZ 〉 ( S Z = 0 ) P o = 0 | –Z 〉 ( S Z = – ) P – = 0 | +Z 〉 Y | +Y 〉 ( S Y = + ) P + = 1/3 | оY 〉 ( S Y = 0 ) P o = 1/3 | –Y 〉 ( S Y = – ) P – = 1/3 P Y S Y S Z P Z + – 0 P
S Z + – 0 P P Z | +Y 〉 Z | +Z 〉 ( S Z = + ) P + = 1/3 | оZ 〉 ( S Z = 0 ) P o = 1/3 | –Z 〉 ( S Z = – ) P – = 1/3 | +Y 〉 Y | +Y 〉 ( S Y = + ) P + = 1 | оY 〉 ( S Y = 0 ) P o = 0 | –Y 〉 ( S Y = – ) P – = 0 S Y P Y
L Y = ? L X = ? L Z = ? L Y L X = ? L Z Определение ориентации вектора момента (спина) требует наложения внешнего магнитного поля ( прибор ШГ ), что приводит к вращению вектора L ( или S ) вокруг той оси, вдоль которой ориентирован градиент напряженности внешнего поля. В итоге одна из проекций оказывается фиксированной, а все остальные — неопределенными. Вектор момента (спина) и процедура измерения
P S Z + – 0 S Y S Z S Y S Z S Y P + – 0 P + – 0 Взаимосвязь функций распределения μ μ — «полуширина» ФР μ μ Z • μ Y ≥ const СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ (В. Гейзенберг)
Существуют связанные пары наблюдаемых [ A, B ], которым невозможно одновременно приписать точные числовые значения A = A i B = B j так как уменьшение неопределенности для одной из таких наблюдаемых ( μ A ) вызывает увеличение неопределенности в значении другой ( μ B ). С АВ = [ A, B ] = A • B – B • A Какие именно пары наблюдаемых связаны между собой «принципом неопределенности», а какие — нет? «ПРИНЦИП НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ» ГЕЙЗЕНБЕРГА ≠ 0 (связаны) = 0 (не связаны)
Причина: не коммутирующие операторы не имеют совпадающих собственных векторов, т.е. состояние, собственное для прибора А, обязательно будет несобственным для другого прибора В. Следствие: анализ собственного состояния прибора А ( т.е. когда наблюдаемая А = А i ) с помощью другого прибора В обязательно приведет к результату в виде не конкретного числа B i, а функции распределения В = В 1, В 2, …, В n Р 1, P 2, …, Р n
А = А i B B = B i А А = А i А = А n А = А 1 А А = А i А А = А i А А = А i А = А 1 А = А n Повторные измерения наблюдаемой А не изменяют ее величину Измерение наблюдаемой В изменяет ранее измеренную и точно известную величину наблюдаемой А Аналогично, измерение наблюдаемой А изменяет измеренную и точно известную величину наблюдаемой В
Правило: в квантовой механике все наблюдаемые можно разбить на пары: СОВМЕСТНО-ИЗМЕРИМЫЕ наблюдаемые, для которых функции распределения не связаны между собой соотношениями неопределенности и для которых операторы коммутируют СОВМЕСТНО-НЕИЗМЕРИМЫЕ наблюдаемые, для которых функции распределения связаны между собой соотношениями неопределенности и для которых операторы не коммутируют
Примеры совместно измеримых наблюдаемых : энергия и модуль вектора спина [ E, | S | ] = 0 модуль вектора спина и одна из его проекций : [ | S |, S x ] = [ | S |, S y ] = [ | S |, S z ] = 0 Примеры совместно-неизмеримых наблюдаемых : проекции вектора спина, [ S x, S y ] ≠ 0 [ S x, S z ] ≠ 0 [ S y, S z ] ≠ 0 импульс и координата, [ x, p x ] ≠ 0 [ y, p y ] ≠ 0 [ z, p z ] ≠ 0 энергия и время [ E, t ] ≠ 0
