Решение задач по теме «Прямоугольный параллелепипед»
Параллелепипед - это призма, основания которой – параллелограммы. Прямоугольный параллелепипед – это прямой параллелепипед, в основании которого прямоугольник Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны Диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам Боковые ребра прямоугольного параллелепипеда перпендикулярны его основаниям У прямоугольного параллелепипеда все грани- прямоугольники У прямоугольного параллелепипеда все диагонали равны V = a · b · c ; V =S oc н. ·h; S oc н. = а · в; S п.пов. = 2( ab+bc+ac ) ; d ²= a² + b² + c²;
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 6. Объем параллелепипеда равен 48. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины. Решение Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений. Поэтому, если x — искомое ребро, то 2 · 6 · x =48, откуда x = 4. 2 х 6
В прямоугольном параллелепипеде АВС DA1B1C1D1 известно, что В D1 =5; СС1=3; В1С1= √7. Найдите длину ребра АВ. Решение
Найдите квадрат расстояния между вершинами C и A 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA 1=3. Решение. В прямоугольнике АВС D АС – диагональ, АВ =С D. Значит,
Найдите расстояние между вершинами А и D прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA1 = 3. По теореме Пифагора: Решение
Найдите угол С1ВС прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA1 =4. Ответ дайте в градусах. Грань ВВ1С1С является квадратом со стороной 4, а ВС1 – диагональ этой грани, значит, угол С1ВС равен 45 ° Решение
В кубе АВС DA1B1C1D1 точка К— середина ребра АА1, точка L — середина ребра A1B1, точка M — середина ребра A1D1. Найдите угол MLK. Ответ дайте в градусах. Стороны сечения KM, KL, и LM равны как гипотенузы равных прямоугольных треугольников AKM, KLA, и LAM, которые равны друг другу по двум катетам. Значит, треугольник LKM является равносторонним. Поэтому ∠ MLK равен 60°. Решение
В кубе АВС DA1B1C1D1 найдите угол между прямыми А D1 и В1 D1. Ответ дайте в градусах. Каждая грань куба является квадратом. Диагонали этих квадратов равны, т.е. D1B1=B1A=AD1. Тогда треугольник D1B1A — равносторонний, значит, искомый ∠ = 60 °. Решение.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 известны длины рёбер AB = 8, AD = 6, AA 1 = 21. Найдите синус угла между прямыми CD и A 1 C 1. Отрезки DC и D 1 C 1 лежат на параллельных прямых, поэтому искомый угол между прямыми A 1 C 1 и DC равен углу между прямыми A 1 C 1 и D 1 C 1. ▲ A 1 C 1 D 1 - прямоугольный => : Значит: Решение.
Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 60 °. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 60 ° и равно 2. Найдите объем параллелепипеда. Объем параллелепипеда V= Sh = SLsin α, где S – площадь одной из граней, а L – длина ребра, составляющего с этой гранью угол α . Площадь ромба с острым углом в 60° равна двум площадям равностороннего треугольн и ка Решение.
В бак, имеющий форму прямой призмы, налито 12 л воды. После полного погружения в воду детали, уровень воды в баке поднялся в 1,5 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров. Решение Объем детали равен объему вытесненной ею жидкости. После погружения детали в воду объём стал равен 12 · 1,5 = 18 литров, поэтом объём детали равен 18 − 12 = 6 л = 6000 см ³.
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания, равной 20 см, налита жидкость. Для того чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём детали, если уровень жидкости в баке поднялся на 20 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах. Решение Объем вытесненной жидкости равен объему детали Уровень жидкости поднялся на h=20 см, сторона основания a=20 см, значит вытесненный объем будет равен Найденный объём является объёмом детали.
Решение Площадь основания пирамиды в два раза меньше площади основания параллелепипеда, а высота у них общая. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, B, C, B1 прямоугольного параллелепипеда АВСDA1B1C1D1, у которого AB=3, AD=3, AA1=4.
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, В,В1,С1 прямоугольного параллелепипеда АВС DA1B1C1D1, у которого AB=5, AD=3, AA1=4. Решение Основанием пирамиды, объем которой нужно найти, является половина боковой грани параллелепипеда, а высотой пирамиды является ребро параллелепипеда B1C1. Поэтому
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А 1, B, C, C1, B 1 прямоугольного параллелепипеда АВС DA1B1C1D1, у которого AB=4, AD=3, AA1=4. Решение Основанием пирамиды, объем которой нужно найти, является боковая грань параллелепипеда, а ее высотой является ребро A1B1 . Поэтому
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, B, C, D 1 прямоугольного параллелепипеда АВС DA1B1C1D1, у которого AB=4, AD=3, AA1=4. Решение Площадь основания пирамиды в два раза меньше площади основания параллелепипеда, а высота у них общая. Поэтому
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, D, A1, B, C, B 1 прямоугольного параллелепипеда АВС DA1B1C1D1, у которого AB=3, AD=4, AA1=5. Решение Видно, что многогранник является половиной данного прямоугольного параллелепипеда. Значит объём искомого многогранника
Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 4,5. Найдите объем треугольной пирамиды AD1CB1. Решение Искомый объем равен разности объемов параллелепипеда со сторонами a, b и c и четырех пирамид, основания которых являются гранями данной треугольной пирамиды:
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Решение Объем данного многогранника равен разности объемов параллелепипедов со сторонами 5, 2, 4 и 1, 2, 2:
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Решение Объем данного многогранника равен сумме объемов параллелепипедов с ребрами 3, 3, 4 и 1, 1, 4. Значит
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Решение Объем многогранника равен сумме объемов параллелепипедов со сторонами (5, 3, 2), (3, 3, 5) и (2, 3, 2). Значит:
К правильной треугольной призме со стороной основания 1 приклеили правильную треугольную пирамиду с ребром 1 так, что основания совпали. Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые ребра на рисунке не обозначены)? Решение Зная, что в треугольной призме 5 граней, а в треугольной пирамиде 4 граней, но так как две грани совпадают получаем: 5 + 4 − 2 = 7.
Найдите объем пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов. Решение Крест состоит из 7 одинаковых кубов, поэтому его объем в 7 раз больше объема одного куба, а т.к. куб единичный, то его объём равен 1. Значит объём кресте равен 7.
Задачи для самостоятельного решения
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания, равной 40 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём детали, если после её погружения уровень жидкости в баке поднялся на 2 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах. Ответ: 3200. 2) В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания, равной 20 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём детали, если уровень жидкости в баке поднялся на 20 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах. Ответ: 8000.
3) В бак, имеющий форму прямой призмы, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке поднялся в 2,6 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах. В одном литре 1000 кубических сантиметров. Ответ : 8000
1 ) Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, D, C 1, D 1 прямоугольного параллелепипеда АВС DA1B1C1D1, у которого AB=5, AD=7, AA1=6. Ответ: 35.
5 ) Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, B, A 1, D 1 прямоугольного параллелепипеда АВС DA1B1C1D1, у которого AB=3, AD=3, AA1=6. 6 ) Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки C, D, C 1, B 1 прямоугольного параллелепипеда АВС DA1B1C1D1, у которого AB=3, AD=8, AA1=7. 7 ) Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, D, A 1, D 1 прямоугольного параллелепипеда АВС DA1B1C1D1, у которого AB=9, AD=5, AA1=8.
8) Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, A1, B 1, D1 прямоугольного параллелепипеда АВС DA1B1C1D1, у которого AB=5, AD=10, AA1=9. 9) Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, A1, B 1, C1 прямоугольного параллелепипеда АВС DA1B1C1D1, у которого AB=8, AD=9, AA1=7. 10) Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, C, D, D1 прямоугольного параллелепипеда АВС DA1B1C1D1, у которого AB=7, AD=3, AA1=8.
11) Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, B, C, D, D 1 прямоугольного параллелепипеда АВС DA1B1C1D1, у которого AB=2, AD=6, AA1=4. 12)Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, B, C, B1, C 1 прямоугольного параллелепипеда АВС DA1B1C1D1, у которого AB=3, AD=2, AA1=9. 13)Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, C, D, D 1, C1 прямоугольного параллелепипеда АВС DA1B1C1D1, у которого AB=4, AD=4, AA1=6.
1 4 ) Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, B1, C1, D 1 прямоугольного параллелепипеда АВС DA1B1C1D1, у которого AB=2, AD=10, AA1=6. Ответ: 20.
15) Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки D, B, C1, B 1 прямоугольного параллелепипеда АВС DA1B1C1D1, у которого AB=6, AD=6, AA1=9. 16)Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, D, C, B 1 прямоугольного параллелепипеда АВС DA1B1C1D1, у которого AB=3, AD=10, AA1=4. 17)Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки B, C, A1, C 1 прямоугольного параллелепипеда АВС DA1B1C1D1, у которого AB=10, AD=3, AA1=10.
18)Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, B, C, D, A1, B 1 прямоугольного параллелепипеда АВС DA1B1C1D1, у которого AB=8, AD=10, AA1=3. Ответ : 120. 19)Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, B, C, A1, B 1, C1 прямоугольного параллелепипеда АВС DA1B1C1D1, у которого AB=7, AD=5, AA1=10. 20)Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, B, C, D, C1, D 1 прямоугольного параллелепипеда АВС DA1B1C1D1, у которого AB=9, AD=4, AA1=3.
1) Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
26)Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 7 и 2. Объем параллелепипеда равен 112. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины. Ответ: 8 27)Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 8 и 6. Объем параллелепипеда равен 240. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины. 28)Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 11 и 8. Объем параллелепипеда равен 792. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины. Задача № 26,27,28
1) Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ: 32
Ответ: 114
33)В прямоугольном параллелепипеде АВС DA1B1C1D1 известно, что СА 1 =√38; DD1 =5; ВС=3. Найдите длину ребра ВА. Ответ:2 34)В прямоугольном параллелепипеде АВС DA1B1C1D1 известно, что D В 1 =√26; АА 1 =1; В1С1=3. Найдите длину ребра С D. Ответ:4 35)В прямоугольном параллелепипеде АВС DA1B1C1D1 известно, что В D1 =6; СС 1 =2; А D =√7. Найдите длину ребра D 1С1. Ответ:5
36) Найдите квадрат расстояния между вершинами В и D 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 5, AA 1=3. Ответ: 59 37) Найдите квадрат расстояния между вершинами В и D 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 4, AD = 6, AA 1=5. Ответ: 38) Найдите квадрат расстояния между вершинами С и А1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 7, AD = 3, AA 1=3. Ответ:
39) Найдите расстояние между вершинами В и А1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 12, AD = 7, AA1 = 5. Ответ: 13 40) Найдите расстояние между вершинами С и В1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB =6, AD = 4, AA1 =3. 41) Найдите расстояние между вершинами В1 и D1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 4, AD = 3, AA1 = 6.
42)Найдите угол ВВ1С прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 6, AA1 =6. Ответ дайте в градусах. Ответ:45 43)Найдите угол СС1В прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD =5, AA1 =5. Ответ дайте в градусах. Ответ: 44) Найдите угол В D С прямоугольного параллелепипеда, для которого AB =4, AD =4, AA1 =3. Ответ дайте в градусах. Ответ:
45) В кубе АВС DA1B1C1D1 точка К— середина ребра ВС, точка L — середина ребра С D, точка M — середина ребра СС 1. Найдите угол MLK. Ответ дайте в градусах. 46) В кубе АВС DA1B1C1D1 точка К— середина ребра АВ, точка L — середина ребра ВС, точка M — середина ребра ВВ1. Найдите угол L М K. Ответ дайте в градусах. 47) В кубе АВС DA1B1C1D1 точка К— середина ребра АВ, точка L — середина ребра ВС, точка M — середина ребра ВВ 1. Найдите угол MKL. Ответ дайте в градусах.
48) В кубе АВС DA1B1C1D1 найдите угол между прямыми АВ 1 и В1 D1. Ответ дайте в градусах. 49) В кубе АВС DA1B1C1D1 найдите угол между прямыми ВА 1 и А1С 1. Ответ дайте в градусах. 50)В кубе АВС DA1B1C1D1 найдите угол между прямыми АВ 1 и А D1. Ответ дайте в градусах.
