Уравнение окружности Л.С. Атанасян "Геометрия 7-9" Савченко Е.М., учитель математики, МОУ гимназия №, г. Полярные Зори, Мурманской обл.
1. Как называется геометрическая фигура, состоящая из множества всех точек, равноудаленных от данной точки? Математический диктант Проверить O 1. Окружность
2. Как называется хорда, проходящая через центр окружности? Проверить O 2. Диаметр B A
3. Как называется отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности? Проверить O M r 3. Радиус
4. Как называется геометрическая фигура, состоящая из множества всех точек плоскости, находящихся от данной точки на расстоянии, не превышающем данного? Проверить 4. Круг O
5. Пересекаются ли окружности с центрами А и В, если АВ = 10 см, а радиусы равны 5 см, и 6 см? Проверить 5. Пересекаются 5 6 А В 10
r 6. Расстояние от центра окружности до точки А равно d, а радиус окружности равен r. Сравните d и r, если точка А лежит вне круга, ограниченного данной окружностью? Проверить O 6. d > r А d
7. Расстояние от центра окружности до точки В равно m, а радиус окружности равен r. Сравните m и r, если точка B лежит внутри круга, ограниченного данной окружностью? Проверить O r В m 7. m < r
(7; 0), (0; 7), (-7; 0), (0; -7). x y O (0; -7) (0; 7) (7; 0) (-7; 0) 8. Найдите координаты точек пересечения окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 7, с осями координат. Проверить Вернуться назад, проверка
x y O C ( x;y ) y = x Уравнение линии на плоскости M ( x;y ) L D ( x;y ) Если точка лежит на данной линии, то ее координаты удовлетворяют уравнению этой линии. Координаты любой точки, не лежащей на данной линии, не удовлетворяют ее уравнению.
В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке C ( x 0 ;y 0 ) имеет вид = r 2 ( x–x 0 ) 2 +( y–y 0 ) 2 x y O C ( x 0 ;y 0 ) MC = ( x–x 0 ) 2 +( y–y 0 ) 2 d = ( x 2 –x 1 ) 2 +( y 2 –y 1 ) 2 M ( x;y ) r = r 2 ( x–x 0 ) 2 +( y–y 0 ) 2 уравнение окружности
= 9 2 ( x – ) 2 + ( y – ) 2 ( ) y 0 r = 3 В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке C ( x 0 ;y 0 ) имеет вид = r 2 ( x–x 0 ) 2 +( y–y 0 ) 2 x y O C (4 ; -2 ) r = 2 r = 3 3 4 -2 x 0 r
3 2 ( ) = 2 ( x – ) 2 + ( y – ) 2 C ( ; ) = 9 ( ) y 0 В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке C ( x 0 ;y 0 ) имеет вид = r 2 ( x–x 0 ) 2 +( y–y 0 ) 2 x y O r 3 -2 x 0 r = 3 -3 y 0 x 0 C ( -3;-2)
Уравнение окружности Центр ( x – 3 ) 2 + ( y – 2) 2 = 16 ( x – 1 ) 2 + ( y + 2) 2 = 4 ( x + 5 ) 2 + ( y – 3) 2 = 25 ( x – 1 ) 2 + y 2 = 8 x 2 + ( y + 2) 2 = 2 x 2 + y 2 = 9 ( x – 3 ) 2 + ( y – 2) 2 = 0,09 ( x + 7) 2 + ( y – 5) 2 = 2,5 r C ( 3; 2) C ( 1;-2) C ( -5; 3) C ( 1; 0) C ( 0;-2) C ( 0; 0) C ( 3; 2) C ( -7; 5) C ( 0;-4) r = 4 r = 2 r = 5 r = 3 r = 0,3 r = 8 r = 2 r = 2,5 x 2 + ( y + 4) 2 = 6 4 1 r = 2 5
Уравнение окружности Центр ( x – 1 ) 2 + ( y – 2) 2 = 6 4 ( x – 1 ) 2 + ( y + 2) 2 = 0,64 ( x + 5 ) 2 + y 2 = 1,44 x 2 + y 2 = 5 ( x + 6) 2 + ( y + 2) 2 = 7 ( x – 5) 2 + y 2 = 0,0169 ( x – 3 ) 2 + ( y + 2) 2 = 0,09 ( x + 7) 2 + ( y – 5) 2 = 1, 6 r C ( 1; 2) r = 8 C ( 1;-2) r = 0,8 C ( -5; 0) r = 1,2 C ( 5; 0) r = 0,13 C ( 3; -2) r = 0,3 C ( 0; 0) r = 5 C ( -6;-2) r = 7 C ( -7; 5) r = 1,6 x 2 + ( y + 4) 2 = 9 1 6 C ( 0;-4) r = 1 3 1
Уравнение окружности Центр ( x – 3 ) 2 + ( y – 2) 2 = 16 ( x – 1 ) 2 + ( y + 2) 2 = 4 ( x + 5 ) 2 + ( y – 3) 2 = 25 ( x – 1 ) 2 + y 2 = 8 x 2 + ( y + 2) 2 = 2 x 2 + y 2 = 9 ( x – 3 ) 2 + ( y – 2) 2 = 0,09 ( x + 7) 2 + ( y – 5) 2 = 2,5 r C ( 3; 2) C ( 1;-2) C ( -5; 3) C ( 1; 0) C ( 0;-2) C ( 0; 0) C ( 3; 2) C ( -7; 5) C ( 0;-4) r = 4 r = 2 r = 5 r = 3 r = 0,3 r = 8 r = 2 r = 2,5 x 2 + ( y + 4) 2 = 6 4 1 r = 2 5
Уравнение окружности Центр ( x – 1 ) 2 + ( y – 2) 2 = 6 4 ( x – 1 ) 2 + ( y + 2) 2 = 0,64 ( x + 5 ) 2 + y 2 = 1,44 x 2 + y 2 = 5 ( x + 6) 2 + ( y + 2) 2 = 7 ( x – 5) 2 + y 2 = 0,0169 ( x – 3 ) 2 + ( y + 2) 2 = 0,09 ( x + 7) 2 + ( y – 5) 2 = 1, 6 r C ( 1; 2) r = 8 C ( 1;-2) r = 0,8 C ( -5; 0) r = 1,2 C ( 5; 0) r = 0,13 C ( 3; -2) r = 0,3 C ( 0; 0) r = 5 C ( -6;-2) r = 7 C ( -7; 5) r = 1,6 x 2 + ( y + 4) 2 = 9 1 6 C ( 0;-4) r = 1 3 1
( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; Центр Вводите ответы в текстовые поля, не делая пробелов Радиус ( x – 3) 2 + ( y – 2) 2 = 16; C r = r = r = r = r = r = C C C C C ( x + 3) 2 + ( y – 5) 2 = 0,16; x 2 + ( y – 2) 2 = 25; ( x – 1) 2 + y 2 = 144; x 2 + y 2 = 2,25; ( x + 7) 2 + ( y + 1) 2 = 0,09;
Центр? Радиус? x 2 + y 2 – 6 y + 5 = 0; x 2 + y 2 – 6 y + 9 – 4 = 0; 9 -4 ( ) x 2 + ( y – 3) 2 – 4 = 0; x 2 + ( y – 3) 2 = 4 O ( 0; 3) r = 2
( ) Докажите, что линия, заданная уравнением , является окружностью. Является ли треугольник АВС вписанным в эту окружность, если известно, что А(7; -5), В(3;-1), С(-1;-5) ? x 2 – 6 x + 9 + y 2 + 10 y + 25 – 16 = 0; ( ) ( x – 3) 2 + ( y + 5) 2 – 16 = 0; ( x – 3) 2 + ( y + 5) 2 = 16 x 2 – 6 x + y 2 + 10 y + 18 = 0 9 25 16 x 2 – 6 x + y 2 + 10 y + 18 = 0 +9 +25 А(7; -5), В(3;-1), С(-1;-5) 7 -5 3 - 1 -1 - 5
Какие из следующих уравнений задают окружность? x 2 + ( y – 1) 2 = 25 4 x 2 + 4 y 2 = 9 2 x 2 + 2 y 2 = 0 x 2 + y 2 + 1 = 0 ( x + 2) 2 + y 2 – 0,01 = 0 ; x 2 – 2 x + y 2 = 3; :4 x 2 + y 2 = 4 9 :2 x 2 + y 2 = 0 x 2 + y 2 = – 1 ( x + 2) 2 + y 2 = 0,01 x 2 – 2 x + 1 + y 2 = 3 + 1 ( x 2 – 1) + y 2 = 4
№ 960 (a) Какие из точек лежат на окружности? x 2 + y 2 = 25 A ( 3; -4); Центр? Радиус? O ( 0; 0) r = 5 B ( 1; 0); C ( 0; 5); D ( 0; 0); E ( 0; 1); 3 2 + (-4) 2 = 25 1 2 + 0 2 = 25 0 2 + 5 2 = 25 0 2 + 0 2 = 25 0 2 + 1 2 = 25 Верно < Верно < < x y A C D B E y x 5
( x – 1) 2 + ( y + 3) 2 = 9 № 960 (б) Какие из точек лежат на окружности? y A ( 3; -4); Центр? Радиус? O (1 ; -3 ) r = 3 B ( 1; 0); C ( 0; 5); D ( 0; 0); E ( 0; 1); ( 3 – 1) 2 + (– 4 + 3) 2 = 9 Верно < ( 1 – 1) 2 + (0 + 3) 2 = 9 ( 0 – 1) 2 + (5 + 3) 2 = 9 > ( 0 – 1) 2 + (0 + 3) 2 = 9 > ( 0 – 1) 2 + (1 + 3) 2 = 9 > x
Дана окружность Определите, какие из точек А(-4; 3), В(5; 1), С(-5; 4), D (10; 5) лежат: а) на окружности; б) внутри круга, ограниченного данной окружностью; в) вне круга, ограниченного данной окружностью. ( x – 4 ) 2 + ( y + 3 ) 2 = 1 00 ( – 4 – 4 ) 2 + ( 3 + 3) 2 > 100 ( 5 – 4 ) 2 + (1 + 3) 2 < 100 y x ( – 5 – 4 ) 2 + (4 + 3) 2 > 100 ( 10 – 4 ) 2 + (5 + 3) 2 = 100
Найдите множество точек, удаленных от окружности на расстояние 3. x 2 + y 2 = 16 x y 4 7 1 x 2 + y 2 = 49 x 2 + y 2 = 1
( x + 5) 2 + ( y – 5) 2 = 25 На чертеже расстояние ОО 1 =. Написать уравнение окружности. 5 2 Центр? Радиус? O 1 (-5 ; 5 ) r = 5 x y A B O O 1 5 2 45 0 5 5
6 0 0 Центр? Радиус? x y O 1 O E 4 3 30 0 F 2 3 r = 2 3 O 1 (- ;- 6 ) 2 3 На чертеже расстояние ОО 1 =, ОЕ – касательная к окружности. EOF = 60 0. Написать уравнение окружности. 4 3 ОЕ = О F, отрезки касательных ( x + ) 2 + ( y + 6) 2 = 12 2 3 6
