Белгород, БМТК
Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия Параллельность прямых и плоскостей Перпендикулярность прямых и плоскостей
С1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей. Аксиомы стереометрии С2. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. С3. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.
Простейшие следствия из аксиом стереометрии Теорема 15.1: Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну. Теорема 15.2: Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. Теорема 15.3: Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.
Параллельность прямых и плоскостей Теорема 16.1: Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну. Теорема 16.2: Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны Теорема 16.3: Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой - нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Теорема 16.4: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Теорема 16.5: Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.
Перпендикулярность прямых и плоскостей Теорема 17.1: Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны. Теорема 17.2: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости. Теорема 17. 3 : Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. Теорема 17.4: Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны. Теорема 17.5: Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна наклонной. Теорема 17. 6 : Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
С1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей. Аксиомы стереометрии Точки Точки
С2. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Аксиомы стереометрии
С3. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну. Аксиомы стереометрии !
Теорема 15.1: Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну. Дано: прямая а, Доказать: Доказательство: 1)Возьмём (по I) 2) Проведём прямую АВ, 3) Через прямые АВ и а проведём плоскость - (по С 3 ) Теорема доказана. ! !
Теорема 15.2: Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. Дано: прямая, плоскость. Доказать:
Доказательство: 1) Возьмём 2) Через прямую и проведём плоскость (по Теореме 15.1) 3) И значит,. Теорема доказана. Теорема 15.2
Следствие из Теоремы 15.2: Плоскость и не лежащая на ней прямая либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке.
Теорема 15.3: Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну. Дано: Доказать: !
Доказательство: Проведём прямые По через можно построить плоскость, и притом только одну. Теорема доказана. Теорема 15.3
Дано: прямая a, т.А а А Доказать: I) II) Теорема 16.1: Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну.
Доказательство : I) 1) Проведём плоскость через прямую а и т. А ( по Т.15.1) Доказать: I) II) А 2) Через т.А проведём прямую Существование доказано. Теорема 16.1
А 5) Получили, что через прямую а и точку А проходит 2 различные плоскости, а по Т.15.1 через прямую и не принадлежащую ей точку можно провести единственную плоскость, значит, II) 3) Предположим, 4) Проведём через прямые плоскость Теорема доказана. Теорема 16.1
Теорема 16.2: Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны. b c Рассмотрим случай, когда прямые не принадлежат одной плоскости. Дано: Доказать:
Доказательство: b c 1) (по определению параллельных) 2) (по определению параллельных) 3) Возьмём (по теореме 15.1) 4) Теорема 16.2
5) Предположим, что следовательно, Что и требовалось доказать. Х 6) Но по условию. Значит, наше предположение (п.5) не верно, и значит 7) Значит, Теорема 16.2
Дано: плоскость Теорема 16.3: Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой - нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Доказать:
1) (по определению параллельных) Доказательство: 2) Пусть, то есть Тогда, а значит Но по условию и следовательно, Теорема доказана. Теорема 16.3
А c Признак параллельности плоскостей Дано: Теорема 16.4: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Доказать:
Доказательство: 1) Пусть 2) (по Т.16.3) 3) Прямые не пере- секают прямую с и лежат с ней в одной плоскости, а значит, 4) Следовательно, через т.А в плоскости проходит 2 прямых, параллельных данной, а это противоречит аксиоме параллельных. Наше предположение (п.1) неверно, и значит, А c Теорема доказана. Теорема 164
Существование плоскости, параллельной данной плоскости Теорема 16.5: Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну. А Дано: плоскость Доказать: 1) 2) (единственность мы доказывать не будем)
1) Возьмём произвольные прямые 2) Через точку А проведём прямые такие, что 3) Проведём плоскость через прямые 4) По Т.16.4. Теорема доказана. Доказательство: А В Теорема 16.5
Теорема 17.1: Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны. Дано: Доказать:
1) 2) В плоскости параллельных прямых проведём прямую, 3) Аналогично проведём прямую, 4) Проведём отрезки и. Теорема 17.1
4) Рассмотрим четырёхугольник -по условию -по построению Доказательство: Теорема 17.1 Так как по построению и ,то по теореме 16.2 2) Плоскости и параллельны по теореме 16.4. 3) Рассмотрим четырёхугольник -по условию -по построению параллелограмм параллелограмм
Доказательство: Теорема 17.1 5) Рассмотрим четырёхугольник -из 1) -по 1-му свойству параллельных плоскостей параллелограмм 6) Рассмотрим Они равны по 3-м сторонам. А значит, Теорема доказана.
Теорема 17.2: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости. Дано: Плоскость, Доказать:
Теорема 17.2
Рассмотрим - равнобедренный, так как -по построению, - по условию. Т.е. АС– высота и медиана Следовательно, Доказательство: - равнобедренный аналогично, 3) = Т.к. ВС – общая, а две другие стороны равны из 1) и 2), следовательно, 5) Рассмотрим -он равнобедренный (, ) ХА- медиана, высота, а значит, прямая, и. Ч.и т.д. 4) по 1 признаку р-ва тр. ( -общая, ) по 3 призн., Теорема 17.2
Теорема 17. 3 : Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. Дано: плоскость, Доказать:
2) Проведём в плоскости прямую Дополнительное построение: Теорема 17. 3 1) Проведём в плоскости через точку В произвольную прямую 3) Так как, то по определению перпендикулярности прямой и плоскости.
Доказательство: Теорема 17. 3 по условию -по построению по теореме 17.1. 1) и Но так как выбор прямой был произволен, то Теорема доказана.
Дано: плоскость, Теорема 17.4: Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны. Доказать :
Доказательство: Теорема 17.4 Предположим противное - прямая не параллельна. Возьмём на прямой какую-нибудь т. и проведём через неё прямую. - по теореме 17.3 через т. проходят 2 пересекающиеся прямые, перпендикулярные. Пришли к противоречию, а значит,. Теорема доказана.
Дано: плоскость, Доказать:
Доказательство: Теорема 17.5 1) Проведём 2) По теореме 17.3: 3) Проведём плоскость через прямые и 4) - по построению, - по условию, , а значит, Теорема доказана.
Дано: плоскость, Доказать: Теорема 17. 6 : Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны
Доказательство: Теорема 17. 6 1) 2) Проведём на пл. через т. О прямую 3) Проведём плоскость через прямые и. - по построению - по условию, (т.к. ), а значит, пл. пересекает пл-ти и по перпендикулярным прямым, по определению перпендикулярности плоскостей. Теорема доказана.
