2022 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА БФУ имени И. Канта
2 2022 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ Производной функции в произвольной точке называется предел если такой предел существует. Операция нахождение производной называется дифференцированием.
3 2022 ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ Пусть материальная точка движется по закону. Фиксируя произвольный момент времени и его приращение получим среднюю скорость на отрезке времени :
4 2022 Скоростью ( мгновенной скоростью) движущейся точки называется предел, к которому стремится средняя скорость при стремлении к нулю приращения времени, то есть Итак, при нахождении скорости изменения какой-то переменной величины в точке нам нужно совершить предельный переход.
5 2022 Равноускоренное движение ( ): Зависимость координаты от Зависимость скорости от
6 2022 ГЕОМЕТРИЧСЕКИЙ СМЫСЛ Предельный переход происходит в задаче о проведении касательной к графику функции в точке. Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке : Уравнение касательной записывается в виде:
7 2022 Рассмотрим график функции в декартовой системе координат. Возьмем на графике точку и точку. Проведем через эти точки прямую. Эта прямая называется Секущей. Ее уравнение будет, а угловой коэффициент этой прямой равен тангенсу угла наклона секущей:. Если, то секущая поворачивается вокруг точки и переходит в касательную с угловым коэффициентом В общем случае, если у функции существует конечная производная в точке, то существует и касательная к графику в точке, и производная равна тангенсу угла наклона касательной.
8 2022 Геометрическая интерпретация производной позволяет записать уравнение касательной к графику функции в точке Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно к касательной, называется нормалью к графику функции в этой точке. Уравнение нормали:
9 2022 СВОЙСТВА Если функция имеет производную в произвольной точке, то она непрерывна в этой точке.
10 2022 ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
11 2022 ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ Теорема. Пусть задана сложная функция. Пусть функция имеет производную в точке, а функция имеет производную в точке. Тогда функция имеет производную в точке и
12 2022 ПРОИВЗОДНАЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ Теорема. Пусть функция определена, непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки, и пусть. Тогда и обратная функция имеет производную в точке, причем
13 2022 ПРОИВЗОДНАЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Пусть функция определена и дифференцируема на интервале и. Производная функции в точке (если она существует) называется второй производной функции и обозначается. Примечание: Аналогично определяется -производная через производную -го порядка.
2022 Спасибо за внимание! МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА БФУ имени И. Канта
