Григорук Е.О.
Ввести понятие двугранного угла и его линейного угла Рассмотреть задачи на применение этих понятий
Задание : Постройте в заданной плоскости еще одну прямую b. Как она может располагаться относительно прямой а ? Сколько таких случаев? b a b a пересекаются параллельны
Разбейте данные рисунки по группам, найдя какой–либо признак для разделения. a b a a a a b b b Задание: a b b 1 2 3 4 5 6
C 1 C A 1 B 1 D 1 A B D Определить взаимное расположение прямых АВ 1 и DC.
А D С В B 1 С 1 D 1 А 1 Каково взаимное положение прямых 1) AD 1 и М N; 2) AD 1 и ВС 1 ; 3) М N и DC ? N M
Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой.
Определение двугранного угла . ребро грани Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями. Общая граница этих полуплоскостей – ребром двугранного угла.
А В С D Угол CBDA
В обыденной жизни, форму двугранного угла имеют
Укажите все двугранные углы
Аналогично тому, как и на плоскости, в пространстве определяются смежные и вертикальные двугранные углы. γ а β β β 1 а 1
AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB -линейный угол двугранного угла ACD В
Рассмотрим два линейных угла АОВ и А 1 ОВ 1. Лучи ОА и ОА 1 лежат в одной грани и перпендикулярны ОО 1, поэтому они сонаправлены. Лучи ОВ и ОВ 1 также сонаправлены. Следовательно, ∠ АОВ = ∠ А 1 ОВ 1 (как углы с сонаправленными сторонами).
Способ нахождения (построения) линейного угла. 1. Найти ( увидеть) ребро и грани двугранного угла 2. В гранях найти направления ( прямые) перпендикулярные ребру 3. (при необходимости) заменить выбранные направления параллельными им лучами с общим началом на ребре двугранного угла При изображении сохраняется параллельность и отношение длин параллельных отрезков
Величина линейного угла не зависит от выбора его вершины на ребре двугранного угла. A B O A 1 O 1 B 1
Линейным углом двугранного угла называется сечение двугранного угла плоскостью, перпендикулярной ребру. А С В D О
Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных этими плоскостями.
В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями ABC и CDD 1.
В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями ABC и CDA 1. Ответ
В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями ABC и BDD 1. Ответ
В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями ACC 1 и BDD 1. Ответ
Дано: КМРТ-тетраэдр Δ ТМК правильный РТ МКТ Указать: Линейные углы для двугранных углов : РТМК РМКТ РКТМ ЗАДАЧА № 1 Ребро ТМ, грани МРТ и МТК Т Р M К А В ┌ В грани МРТ : РТ ТМ ( по определению а ) В грани МТК : КА ТМ, где А середина ТМ ( по свойству р/с Δ ) ВА РТ, РТ ТМ ВА МТ ( по лемме о связи и ) Ответ: ВАК искомый
ЗАДАЧА № 2 Дано: КМРТ-тетраэдр Δ ТМК правильный РТ МКТ Указать: Линейные углы для двугранных углов : РТМК РМКТ РКТМ Т Р M К C ┌ Ребро МК, грани КМР и КМТ В грани КМР : РС КМ, где С - середина КМ ( по свойству р/с Δ) В грани КТМ : ТС КМ, где С - середина КМ ( по свойству р/с Δ) Ответ: РСТ - искомый
ЗАДАЧА № 3 Дано: КМРТ-тетраэдр Δ ТМК правильный РТ МКТ Указать: Линейные углы для двугранных углов : РТМК РМКТ РКТМ Т Р M К D F ┌ Ребро КТ, грани КТР и КМТ В грани КТР : Р T К T ( по определению а ) В грани КТМ : М D К T, где D середина КТ ( по свойству р/с Δ) FD PT, Р T К T FD К T ( по лемме о связи и ) Ответ: FDM искомый
В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями BC 1 D и BA 1 D. Решение: Пусть О – середина В D. A 1 OC 1 – линейный угол двугранного угла А 1 В D С 1.
В тетраэдре DABC все ребра равны, точка М – середина ребра АС. Докажите, что ∠ DMB – линейный угол двугранного угла BACD.
Треугольники ABC и ADC правильные, поэтому, BM ⊥ AC и DM ⊥ AC и, следовательно, ∠ DMB является линейным углом двугранного угла DACB.
Из вершины В треугольника АВС, сторона АС которого лежит в плоскости α, проведен к этой плоскости перпендикуляр ВВ 1. Найдите расстояние от точки В до прямой АС и до плоскости α, если АВ=2, ∠ВАС=150 0 и двугранный угол ВАСВ 1 равен 45 0.
АВС – тупоугольный треугольник с тупым углом А, поэтому основание высоты ВК лежит на продолжении стороны АС. ВК – расстояние от точки В до АС. ВВ 1 – расстояние от точки В до плоскости α
2) Так как АС ⊥ВК, то АС⊥КВ 1 (по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах). Следовательно, ∠ВКВ 1 – линейный угол двугранного угла ВАСВ 1 и ∠ВКВ 1 =45 0. 3) ∆ВАК : ∠А=30 0, ВК=ВА· sin 30 0, ВК =1. ∆ВКВ 1 : ВВ 1 =ВК· sin 45 0, ВВ 1 =
