Выполнили учащиеся 7в, 8б классов Мун Дмитрий Самсонова Софья Золоташкина Мария Гондалева Наталья Руководители: учителя математики: Субботина Н.Г. Федоськина О.Д. 2015г
Изучая тему «Линейная функция, её свойства и график» у а у у в а а=в 0 х в 0 х 0 х Обратили внимание на расположение прямых: 1. параллельны 2. пересекаются 3. совпадают
Взаимное расположение двух прямых прямых зависит от к и в. Прямые 1. параллельны (к 1 = к 2, в 1 ≠ в 2 ) 2. пересекаются (к 1 ≠ к 2 ) 3. совпадают (к 1 = м к 2 ; в 1 = м в 2 ) Если прямые параллельны, значит система ………… Если прямые пересекаются, значит система ………. Если прямые совпадают, значит система ……………
Системой линейных уравнений называется совокупность равенств, содержащих неизвестные величины в первой степени, о которой ставится вопрос: существуют ли и какие именно значения неизвестных, при которых все равенства становятся верными. Системы с двумя уравнениями и двумя переменными изучаются в школьном курсе математики, где для их решения применяются методы подстановки и сложения.
Миллионы людей занимаются математическими расчетами, иногда в силу влечения к таинствам математики и ее внутренней красоте, а чаще в силу профессиональной или иной необходимости, не говоря уже об учебе. Многие практические задачи приводят к необходимости решать системы линейных уравнений. При конструировании инженерных сооружений, обработке результатов измерений, решении задач планирования производственного процесса и ряда других задач техники, экономики, научного эксперимента приходится решать системы линейных уравнений.
Не счесть приложений математики, в которых решение систем уравнений является необходимым элементом решения задачи. В школьном курсе математики мы изучаем такие способы решения систем уравнений как: аналитический (сложения, подстановки), графический Которые нередко вызывают затруднения в вычислениях или в построении графиков заданных функций
Известные способы решения систем 2-х уравнений с двумя неизвестными Графический Аналитический - метод сложения - метод подстановки - метод исключения неизвестных, - метод Крамера. - метод Гаусса Какой из них самый рациональный? Среди не изучаемых в школе методов решения систем уравнений наиболее интересным и достаточно простым является метод Крамера или метод определителей.
Изучение метода Крамера для решения систем линейных уравнений первого порядка и возможности овладения этим методом учащимися 7 класса.
Изучить литературу по методам решения систем уравнений. Научиться решать системы линейных уравнений методом Крамера. Сравнить вывод о количестве решений системы линейных уравнений методом Крамера и графическим способом
Объект: Метод Крамера Предмет: Системы линейных уравнений с 2 переменными. Методы исследования: Сравнение, анализ, обобщение, эксперимент, моделирование.
С помощью данного метода увеличивается скорость решения систем линейных уравнений. Метод Крамера можно изучать на уроках алгебры в 7-8 классах как дополнительный метод решения систем линейных уравнений с двумя переменны
интересует математиков уже несколько столетий. Первые математические результаты появились в XVIII веке. В 1750 году Г. Крамер (1704 – 1752) предложил алгоритм нахождения обратной матрицы, известный, как правило Крамера. Позже в 1809 году Гаусс опубликовал работу, посвященную движению небесных тел, в которой был изложен метод для решения линейных систем, известный, как метод исключения. Одним из основных методов решения системы линейных уравнений является метод Крамера или метод определителей.
двух линейных уравнений с двумя переменными: a 1 x + b 1 y = c 1, a 2 x + b 2 y = c 2. Решением данной системы будет пара чисел, при подстановке которых вместо x и y оба уравнения обращаются в верные равенства.
Составим таблицу из коэффициентов при неизвестных данной системы уравнений. Эта таблица называется матрицей: Матрица - прямоугольная таблица, состоящая из чисел, содержащая некоторое количество m строк (горизонтальные ряды) и некоторое количество n столбцов (вертикальные ряды). Числа m и n принято называть порядками матрицы. Если m = n, то матрица называется квадратной, а число m = n ее порядком. Числа, входящие в состав матрицы называют ее элементами. a 1 b 1 a 2 b 2
В нашем примере мы имеем квадратную матрицу второго порядка. Диагональ, идущая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний, называется ее главной диагональю, другая диагональ называется побочной. Если из произведения элементов, стоящих на главной диагонали матрицы А вычесть произведение элементов, стоящих на побочной диагонали, то мы получим выражение a 1 b 2 – a 2 b 1, которое называется определителем матрицы А. Это определитель второго порядка, обозначается, так: ∆ = a 1 b 2 – a 2 b 1.
При замене первого столбца столбцом свободных членов, получаем следующий определитель: ∆ x = c 1 b 2 – c 2 b 1. При замене второго столбца столбцом свободных членов, получаем: ∆ y = а 1 с 2 – а 2 с 1.
Таким образом мы нашли, что x = ∆ x ; y = ∆ y ∆ ∆ Это и есть формулы Крамера для решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Система имеет решение, если ∆≠0.
Пример решения системы 3x -2y = 7, 2x + 3y = 1 Решение: ∆ = 3 ∙ 3 – 2 ∙ (-2) = 9 +4=13 ∆ x = 7 ∙ 3 - 1 ∙ (-2) = 21+2 = 23 ∆ y = 3 ∙ 1 – 7 ∙ 2 = 3-14 = -11 x = 23 : 13, y = -11 : 13 Ответ: ( 23/13; -11/13) Метод Крамера очень удобен для любых коэффициентов при неизвестных, особенно для больших чисел.
Мы овладели методом Крамера для решения систем линейных уравнений не хуже, чем методами подстановки и сложения. Более того, если есть возможность выбора способа решения, то 80% учащихся остановились на новом методе.
БИОГРАФИЯ Крамер родился в семье франкоязычного врача. С раннего возраста показал большие способности в области математики. В 18 лет защитил диссертацию. В 20-летнем возрасте Крамер выставил свою кандидатуру на вакантную должность преподавателя на кафедре философии Женевского университета.
Кандидатур было три, все произвели хорошее впечатление, и магистрат принял соломоново решение: учредить отдельную кафедру математики и направить туда (на одну ставку) двух «лишних», включая Крамера, с правом путешествовать по очереди за свой счёт. БИОГРАФИЯ
