Перпендикулярность прямой и плоскости
Перпендикулярные прямые в пространстве. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90 0. b a c a b, a b c a, c a c /
Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. a b c a II b, a c A C M
B А C D Пример В тетраэдре АВС D ВС А D. Докажите, что А D MN, где М и N – середины ребер АВ и АС. M N II
Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. a a
О 1 А В Построение прямых углов на местности с помощью простейшего прибора, который называется экер Треножник с экером Отвес Экера перпендикулярен плоскости земли.
Канат в спортивном зале перпендикулярен плоскости пола.
A O В Пример. Прямая ОА OBC. Точка О является серединой отрезка А D. Докажите, что АВ = В D. D По опр. С
A O В Пример. Прямая ОА OBC. Точка О является серединой отрезка А D, ОВ = ОС. Докажите, что АВ = АС. По опр. С С D
В Зарача1. В треугольника АВС дано: С = 90 0, АС = 6 см, ВС = 8 см, СМ – медиана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, причем СК = 12 см. Найдите КМ. По опр. С К А М 12 см 8 см 6см
В Задача1. Еще один эскиз к задаче С К А М 12 см 8 см 6см
В К O С Задача 2. Через точку О пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна a, проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки К до вершин квадрата, если ОК = b. По опр. А D a b a
a a 1 Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. a х
a b Обратная теорема. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. a b a II b
a Обратная теорема. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. a b a II b b b 1 M c
С М O В Задача 3. АВС – правильный треугольник. О – его центр, ОМ – перпендикуляр к плоскости АВС, ОМ = 1. Сторона треугольника равна 3. Найдите расстояние от точки М до вершин треугольника. По опр. А 3 1
Р Задача 4 Прямая Р Q параллельна плоскости. Через точки Р и Q проведены прямые, перпендикулярные к плоскости, которые пересекают эту плоскость соответственно в точках Р 1 и Q 1. Докажите, что Р Q = P 1 Q 1. Q Q 1 P 1 PP 1 IIQQ 1 РР 1 QQ 1
Р Задача 5 Через точки Р и Q прямой PQ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости, которые пересекают эту плоскость соответственно в точках Р 1 и Q 1. Найдите Р 1 Q 1. Q Q 1 PP 1 IIQQ 1 РР 1 QQ 1 15 21,5 33,5 По опр. P 1
С М O В А 2 D В М O С А Дано: АВС D – квадрат со стороной 4, О – точка пересечения диагоналей. Найти расстояние от точки М до вершин квадрата. 1 4 4 4 4 АВС –равносторонний треугольник со стороной О – точка пересечения медиан. Найти расстояние от точки М до вершин треугольника. Дано:
