1. Определение модуля 2. Виды уравнений: 3. Методы решения уравнений 4. Задания для самостоятельного решения 5. Выводы 6. Домашнее задание
Большинство уравнений с модулем можно решить исходя из определения модуля: Пример Содержание
Пример 1 Решение: Ответ: Решить уравнение Содержание Методы решения
Пример 2 Если решать это уравнение по определению, то придется трижды использовать определение модуля и при этом нам необходимо будет решить 8 систем. Решить уравнение Поэтому, чтобы избежать этих сложностей, полезно знать ряд равносильных преобразований некоторых типов уравнений и другие способы решения уравнений.
Уравнение вида: Равносильно : Пример Содержание
Заметим, что если бы мы решали уравнение по определению, то у нас возникли бы затруднения при подстановке корней в соответствующие неравенства. Пример 3 Решение: Решить уравнение Ответ: Содержание Следующая равносильность
Такие уравнения можно решать двумя способами: I способ: Если f(x) имеет более простой вид, чем g(x), то Рассмотрим уравнения вида Далее Пример
Пример 4 Решение: Решить уравнение
Решим уравнение второй системы: Решим уравнение первой системы:
Вернемся к совокупности систем: Ответ: Далее Содержание Следующая равносильность
II способ: Если g(x) имеет более простой вид, чем f(x). Если g(x)<0, то уравнение |f(x)|=g(x) не имеет решений Если g(x) ≥0, то Содержание Пример
Решим первое уравнение совокупности: Пример 5 Решение: Решить уравнение
Решим второе уравнение совокупности: Вернемся к системе: Система решений не имеет, следовательно, уравнение решений не имеет. Следующая равносильность Содержание
Так как обе части уравнения неотрицательны, то Рассмотрим уравнения вида И мы получаем следующую равносильность: Пример Содержание
Решим первое уравнение совокупности: Пример 6 Решение: Решить уравнение
Решим второе уравнение совокупности: Ответ: Вернемся к совокупности: Содержание Методы решения
Для решения уравнений такого вида удобно воспользоваться следующим алгоритмом: Найти нули подмодульных выражений; Провести столько параллельных прямых, сколько содержится модулей в данном уравнении; Нанести на каждую прямую знаки, соответствующие подмодульной функции; Через точки, соответствующие подмодульным нулям, провести вертикальные прямые, которые разобьют параллельные прямые на интервалы; Раскрыть модули на каждом интервале и решить на этом интервале уравнение. Рассмотрим уравнения вида Пример Содержание
Пример 7 Решение: Решить уравнение 1. Нули подмодульных выражений: 2. Проведем параллельные прямые, нанесем на них эти значения и знаки, соответствующие модулям на каждом из полученных интервалов : I II III IV – + + + + + + – – – + + -3 -1 2
Раскрывая модули на каждом интервале, получим совокупность систем: Ответ: -2; 8 Содержание Методы решения
В некоторых случаях удобнее использовать метод замены переменной. Пример 8 Решение: Ответ: Решить уравнение Данное уравнение может быть решено несколькими способами. Например: Способ 1. Используя определение модуля. Способ 2. Свести уравнение к равносильности Способ 3. Замена переменной. Заметим, что Замена: Уравнение принимает вид: Обратная замена: 0; 4 Содержание Методы решения
Бывает и так, что уравнение нельзя отнести ни к одному из рассмотренных типов, а так затруднительно решить его исходя из определения. В этом случае удобно воспользоваться графическим способом решения. Пример 9 Решение: Решить уравнение Построим в одной системе координат графики функций
2 4 6 8 - 2 - 4 - 6 - 8 - 2 4 6 8 10 0 2
2 4 6 8 - 2 - 4 - 6 - 8 - 2 4 6 8 10 0 2
2 4 6 8 - 2 - 4 - 6 - 8 - 2 4 6 8 10 0 2
2 4 6 8 - 2 - 4 - 6 - 8 - 2 4 6 8 10 0 2
2 4 6 8 - 2 - 4 - 6 - 8 - 2 4 6 8 10 0 2 Ответ: Найдем их точки пересечения Содержание
Содержание
1. Виды уравнений: 2. Методы решения уравнений Аналитический: - по определению - использование равносильностей - разбиение на промежутки - замены переменной Графический Содержание
Уровень 1 Уровень 2
Содержание
